Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса (теория и программа на Паскале)

скачать реферат

Министерство Высшего Образования РФ.

Московский Институт Электронной Техники (Технический Университет)

Лицей №1557

КУРСОВАЯ РАБОТА

“Вычисление интеграла методом Ньютона-Котеса”

Написал: Коноплев А.А. Проверил: доцент Колдаев В.Д.

Москва, 2001г.

1. Введение..................................................................................... 3 2. Теоретическая часть...................................................................4 3. Алгоритм работы........................................................................8 4. Код программы.........................................................................17 · Модуль K_graph............................................................17 · Модуль Graphic.............................................................34 · Модуль K_unit...............................................................38 · Основная программа....................................................40 5. Тестовые испытания.................................................................42 6. Полезные советы по работе с программой.............................42 7. Окна ввода и вывода программы............................................. 8. Вывод..........................................................................................43 9. Список литературы...................................................................44

Математика - одна из самых древних наук. Труды многих ученых вошли в мировой фонд и стали основой современных алгебры и геометрии. В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование. Многие правила нахождения неопределенного интеграла в то время не были известны, поэтому ученые пытались найти другие, обходные пути поиска значений. Первым методом явился метод Ньютона поиск интеграла через график функции, т.е. нахождение площади под графиком, методом прямоугольников, в последствии усовершенствованный в метод трапеций. Позже был придуман параболический метод или метод Симпсона. Однако часть ученых терзал вопрос: А можно ли объединить все эти методы в один?? Ответ на него был дан одновременно двумя математиками Ньютоном и Котесом. Они вывели общую формулу, названную в их честь. Однако их метод был частично забыт. В этой работе будут изложены основные положения теории, рассмотрены различные примеры, приведены таблицы, полученные при различных погрешностях, и конечно описана работа и код программы, рассчитывающей интеграл методом Ньютона-Котеса.

Пусть некоторая функция f(x) задана в уздах интерполяции: (i=1,2,3…,n) на отрезке [а,b] таблицей значений:

X0=aX1X2…XN=bY0=f(x0)Y1=f(x1)Y2=f(x2)…YN=f(xN) Требуется найти значение интеграла . Для начала составим интерполяционный многочлен Лагранджа:

Для равноотстоящих узлов интерполяционный многочлен имеет вид:

где q=(x-x0)/h шаг интерполяции, заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

Поменяем знак суммирования и интеграл и вынесем за знак интеграла постоянные элементы:

Так как dp=dx/h, то, заменив пределы интегрирования, имеем:

Для равноотстоящих узлов интерполяции на отрезке [a,b] величина шаг определяется как h=(a-b)/n. Представив это выражение для h в формулу (4) и вынося (b-a) за знак суммы, получим:

Положим, что

где i=0,1,2…,n; Числа Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса.
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




Эти коэффиценты не зависят от вида f(x), а являются функцией только по n. Поэтому их можно вычислить заранее. Окончательная формула выглядит так:

Теперь рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить с помощью метода Ньютона-Котаса: , при n=7. Вычисление. 1) Определим шаг: h=(7-0)/7=1. 2)Найдем значения y:

x0=0y0=1x1=1y1=0.5x2=2y2=0.2x3=3y3=0.1x4=4y4=0.0588x5=5y5=0.0384x6=6y6=0.0270x7=7y7=0.02 3) Находим коэффициенты Ньютона-Котеса: H1=H7=0.0435, H1=H6=0.2040, H2=H5=0.0760 ,H3=H4=0.1730 Подставим значения в формулу и получим:

При подсчете с помощью формулы Ньютона-Лейбница получим:

Пример 2. Вычислить при помощи метода Ньютона-Котеса , взяв n=5; Вычисление: 1) Определим шаг h=(8-4)/5=0.8 2) Найдем значения y:

x0=0y0=-2.61x1=4.8y1=0.42x2=5.6y2=4.34x3=6.4y3=6.35x4=7.2y4=4.38x5=8y5=-0.163) Находим коэффициенты Ньютона Котеса: H0=H5=0.065972 ;H1=H4=0.260417 ;H2=H3=0.173611 ; 4)Подставим значения в формулу и получим:

Рассмотрим частные случаи формулы Ньйтона-Котеса. Пусть n=1 тогда H0=H1=0.5 и конечная формула примет вид: Тем самым в качестве частного случая нашей формулы мы получили формулу трапеций. Взяв n=3, мы получим . Частный случай формулы Ньютона Котеса формула Симпсона

Теперь произведем анализ алгоритма и рассмотрим основной принцип работы программы. Для вычисления интеграла сначала находятся коэффициенты Ньютона-Котеса. Их нахождение осуществляется в процедуре hkoef. Основной проблемой вычисления коэффициентов является интеграл от произведения множителей. Для его расчета необходимо:

А) посчитать коэффициенты при раскрытии скобок при q (процедура mnogoclen) Б) домножить их на 1/n , где n степень при q (процедура koef) В) подставить вместо q значение n (функция integral)

Далее вычисляем факториалы (функция faktorial) и перемножаем полученные выражения (функция mainint). Для увеличения быстроты работы вводится вычисление половины от количества узлов интерполяции и последующей подстановкой их вместо неподсчитанных.

Процедура koef(w: массив;n:целый;var e:массив);

Процедура hkoef(n:целый;var h:массив);

Процедура mnogochlen(n,i:целые;var c:массив );

Процедура funktia(n:целая;a,b:вещест.;var y:массив;c:вещест.;f:строка);

Функция facktorial(n:целый):двойной;

Функция integral(w:массив;n:целый):двойной;

Функция mainint(n:целый;a,b:вещест.;y:массив):двойной;

Основная программа

Программа состоит из 8 файлов: · K_main.exe файл загрузки основной программы · K_unit.tpu модуль вычислительных процедур и функций · K_graph.tpu модуль графических процедур · Graphic.tpu модуль процедур для построения графика · Egavga.bgi файл графической инициализации · Sans.chr, litt.chr файлы шрифтов · Keyrus.com (не обязательно) файл установки русского языка. Для работы программы с русским интерфайсом желательно запускать ее в режиме DOS.

================================================ ==========МОДУЛЬ GRAPH========== ================================================ {$N+} unit k_graph; interface uses crt,graph,k_unit,graphic; procedure winwin1; procedure proline(ea:word); procedure winwwodab(ea:word); procedure error1(ea:word); procedure helpwin(ea:word); procedure error(ea:word); procedure newsctext(ea:word); procedure newsc(ea:word); procedure win1(ea:word); procedure win2(ea:word;var k:word); procedure wwodn(ea:word;var n:integer);

скачать реферат
1 2 3 4 ...    последняя

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы