Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Цепные дробиСодержание где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием b>>>…>>0, а соответствует остаток 0. Системе равенств (1) соответствует равносильная система из которой последовательной заменой каждой из дробей и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде: Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что целое число, а , …, - натуральные числа. Имеются различные формы записи цепных дробей: Согласно последнему обозначению имеем Числа , , …, называются элементами цепной дроби. Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части. Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа. Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным. Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было . Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что . Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при : так что представление можно удлинить: например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1). 2) Принимая условие , можно утверждать, что целая часть цепной дроби равна ее первому неполному частному . В самом деле: 1. если n=1, то 2. если n=2, то ; поэтому 3. если n>2, то = , где >1, т.к. Поэтому и здесь . Докажем то, что рациональное число однозначно представляется цепной дробью , если . Пусть с условием , . Тогда , так что . Повторным сравнением целых частей получаем , а следовательно и так далее. Если , то в продолжении указанного процесса получим также . Если же , например , то получим , что невозможно. Теорема доказана. Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие. Замечания: 1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент , например, . 2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна. скачать реферат 1 2 3 4 ... последняя Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |