Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Цепные дробиПример: , а так как , то .
3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.
Пример: 5=(5); . Если k нечетное, то Значит, из двух соседних дробей и четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать. 7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями . Доказательство: Так как , то , что и требовалось доказать. Глава II. Бесконечные цепные дроби. §1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями. 1.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь. В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь разлагается в конечную непрерывную дробь. =() (1) и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби. Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу. Для иррационального числа указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу. Выражение (где , ) (2) возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через (), а числа ее элементами или неполными частными. Отметим, что разложение возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части процесс однозначный. Рассмотрим пример разложения иррационального числа . Пусть . Выделим из его целую часть. =3, а дробную часть 3, которая меньше 1, представим в виде , где . Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем: ; ; . Если остановиться на этом шаге, то можно записать: С другой стороны, из формулы для видно, что =3+. Поэтому , вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться. Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью. Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае смешанной периодической. Чисто периодическая дробь записывается в виде , а смешанная периодическая в виде . Итак, разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)). В общем случае разложения действительного иррационального числа поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после kго шага, будем иметь: так что . Числа называются остаточными числами порядка k разложения . В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа . Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей. Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных и совершенно не зависит от того, является ли последним элементом или за ним следует еще элемент . Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей. В частности, мы имеем: 1) , причем ; 2) , откуда следует несократимость подходящих дробей ; 3) . Сравним теперь подходящую скачать реферат 1 2 3 4 5 ... последняя Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |