Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Цепные дроби

скачать реферат

Пример: , а так как , то . 3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента. Пример: 5=(5); .

§2. Подходящие дроби. Их свойства.

Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача обращения или свертывания цепной дроби в простую дробь . При этом основную роль играют дроби вида: или которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа . Заметим, что ==. Считается, что подходящая дробь имеет порядок k. Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что переходит в , если в первой заменить выражением . Имеем , , , …, при этом принимается, что , , , , , и так далее. Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для (ее числителя и знаменателя ), сохраняется при переходе к и сохранится также при переходе от k к (k+1). Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где , имеем (1), причем (2) (3) Далее, говоря о подходящих дробях (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму . Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении k они возрастают. Последовательное вычисление числителей и знаменателей подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме: ……………… Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3). 22131143257263359269866123111425114367Подходящие дроби () равны соответственно ; ; ; ; ; ; ; . Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую приведем для =(2, 3, 1, 4, 2)

. А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

1. Теорема: При k=1, 2, …, n выполняется равенство Доказательство: Проведем индукцию по k: При k=1 равенство справедливо, так как . Пусть это равенство верно при некотором k=n (). Докажем справедливость равенства при k=n+1.

, то есть равенство верно при k=n+1. Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k().

2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби взаимно простые числа, то есть всякая kподходящая дробь несократима. Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем . Пусть , то есть , тогда из равенства следует, что делится на без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть .

3. Теорема: При 1) () 2) () Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства , доказанного выше, путем деления обеих частей на . Получаем , что и требовалось доказать. Докажем второе соотношение.

. Теорема доказана полностью.

4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=. Доказательство: , , так что и положительны. Соотношение () (*) показывает, что и все следующие знаменатели , , …, положительны. При , поскольку тогда , из (*) получаем , что и требовалось доказать.

5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби убывающую последовательность: ; . Две подходящие дроби и , у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними. 6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной. Доказательство:
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




По уже доказанному выше свойству имеем: . Если k четное, то

Если k нечетное, то

Значит, из двух соседних дробей и четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.

7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями . Доказательство: Так как , то , что и требовалось доказать.

Глава II. Бесконечные цепные дроби.

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями.

1.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь.

В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь разлагается в конечную непрерывную дробь. =() (1)

и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби. Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу. Для иррационального числа указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу. Выражение (где , ) (2)

возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через (), а числа ее элементами или неполными частными. Отметим, что разложение возможно только в единственном виде, так как процесс выделения целой части процесс однозначный. Рассмотрим пример разложения иррационального числа . Пусть . Выделим из его целую часть. =3, а дробную часть 3, которая меньше 1, представим в виде , где . Повторяя операцию выделения целой части и перевертывания дробной, мы получаем: ; ; . Если остановиться на этом шаге, то можно записать:

С другой стороны, из формулы для видно, что =3+. Поэтому , вследствие чего, начиная с этого момента, неполные частные станут повторяться. Бесконечная непрерывная дробь, в которой определенная последовательность неполных частных, начиная с некоторого места, периодически повторяется, называется периодической непрерывной дробью. Если, в частности, периодическое повторение начинается с первого звена, то цепная дробь называется чисто периодической, в противном случае смешанной периодической. Чисто периодическая дробь записывается в виде , а смешанная периодическая в виде . Итак, разлагается в смешанную периодическую дробь (3, 3, 6, 3, 6, …) или (3, (3, 6)). В общем случае разложения действительного иррационального числа поступаем так же, как в примере. Останавливаясь при этом в процессе выделения целой части после kго шага, будем иметь:

так что

. Числа называются остаточными числами порядка k разложения . В формуле (4) имеем кусок разложения до остаточного числа . Для бесконечной цепной дроби (2) можно построить бесконечную последовательность конечных непрерывных дробей.

Эти дроби называют подходящими дробями. Закон образования соответствующих им простых дробей будет такой же, как и для подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей, так как этот закон зависит только от неполных частных и совершенно не зависит от того, является ли последним элементом или за ним следует еще элемент . Поэтому для них сохранятся также остальные свойства, которые выводятся из закона образования числителей и знаменателей подходящих дробей. В частности, мы имеем: 1) , причем ; 2) , откуда следует несократимость подходящих дробей ; 3) . Сравним теперь подходящую

скачать реферат
1 2 3 4 5 ...    последняя

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы