Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Цепные дробитребуемой точности от этого иррационального числа. При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно простым, то есть в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим знаменателем.
Для громоздких рациональных чисел, то есть чисел с большими знаменателями, также иногда возникают задачи, связанные с необходимостью отыскания хороших рациональных приближений, понимая под этим отыскание рациональных чисел со сравнительно небольшими знаменателями, мало отличающимися от данных чисел.
Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять действительные числа рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих рациональных чисел. 2.3. Теорема Дирихле. Выше мы нашли оценку погрешности, возникающей при замене любого действительного числа рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими дробями. А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями. Пусть произвольное действительное число. Из теории десятичных дробей следует существование рационального числа такого, что . поставим вопрос о возможности таких приближений рациональными числами , при которых точность приближения будет оценена не величиной , а величиной, в раз меньшей, то есть вопрос о нахождении рациональных чисел таких, что , где любое заранее положительное число. Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения к , чтобы точность приближения была в 1000 или в 1000000 раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю. Это соответствует выбору =1000 или =1000000. оказывается, что как бы велико ни было , можно найти рациональную дробь , приближающую с точностью до , причем и это является самым интересным, дробь мы можем выбрать так, что . Теорема Дирихле: Пусть и действительные числа; существует несократимая дробь , для которой , (или: существует такая пара взаимно простых целых чисел a и b, что , ). Доказательство: Теорему легко доказать с помощью аппарата цепных дробей. Пусть подходящая дробь числа ; выберем наибольший из знаменателей , не превышающий , то есть наибольшее k, чтобы и положим =. Рассмотрим два случая: 1) не является последним знаменателем, то есть существует такое, что <. Тогда при a= и b= имеем: 2) знаменатель последней подходящей дроби разложения , то есть =. Тогда при a=, b=, имеем: . Теорема доказана. Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип, который носит теперь имя Дирихле: при распределении N объектов между N-1 ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это доказательство. Пусть , рассмотрим скачать реферат 1 2 3 4 5 6 7 ... последняя Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |