Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Цепные дробисовокупность t+2 чисел, состоящую из 1 и значений дробных частей для x=0, 1, …, t (причем =-, ). Очевидно, каждое из чисел этой совокупности принадлежит точно одному из t+1 промежутков , , …, , из которых первые t являются полусегментами, а последний сегментом. Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что (). Такими рациональными дробями могут быть только подходящие дроби к . Доказательство: Докажем первую часть теоремы. Рассмотрим две последующие подходящие дроби к и . Допустим, что ни одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству (). Тогда имеем: , . Отсюда . Но так как лежит между и , то , вследствие чего , или , а это для k>1 невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше допущение неверно, а верно то, что требуется доказать. Для доказательства второй части теоремы докажем достаточный признак подходящей дроби к действительному числу : если , где Q>0, несократимая дробь и для действительного имеет место неравенство (), то является подходящей дробью к . Доказательство: Покажем, что если =()= ( удовлетворяет условию теоремы) подходящая дробь к , то соответствующее остаточное число разложения данного в цепную дробь окажется >1. Действительно, , откуда следует , так как . Теорема доказана полностью. Достаточный признак подходящей дроби не является ее необходимым признаком; могут существовать подходящие дроби для , которые ему не удовлетворяют. Крайнюю возможность уменьшения c в указанном раньше смысле выражает теорема Гурвица-Бореля: Теорема: Для любого действительного иррационального числа существует при бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что выполняется неравенство (1), то есть неравенство , () если же , то существуют такие действительные иррациональные , для которых неравенство (1) имеет не более конечного числа рациональных решений . Доказательство: Докажем первую часть. Разложим в цепную дробь. Мы докажем, что из трех любых соседних подходящих дробей , i=k, k+1, k+2 по крайней мере одна удовлетворяет условию . Доказательство этого утверждения будем вести методом от противного. Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей выполняются неравенства: , , (2) и расположены по разные стороны от и поэтому при нечетном k из (2) следует , а при четном: , так что и в том, и в другом случае имеем: , или, умножая на и перенося все члены в одну сторону , то есть , , или, поскольку и целые, . (3) Так как и также расположены по разные стороны от , из (2) аналогично получаем: . (4) Пользуясь еще тем, что из (3) и (4) получаем: . Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей , , , взятой в качестве , должно выполняться неравенство (). Придавая k различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству (). Докажем вторую часть. Предположим, что при , неравенство (1) удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел . Тогда для каждой такой дроби неравенства , откуда, подставляя значение , получаем , а возводя в квадрат, получаем: . Так как , то при достаточно большом Q будем иметь: и, следовательно, целое число , =, что при целых P и Q не может иметь места. Полученное скачать реферат первая ... 2 3 4 5 6 7 8 Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |