Рефераты / Математика /

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

это , так как 17·72>1000. Ответ: .

b) =; =5 ; ; ; ; ; . Мы получили неполные частные, начиная с будут повторяться и =(5, (1, 1, 1, 10)). 5111101…56111718119811233235, так как 32·35>1000. Ответ: .

c) =(3, 2, 5, 2, 7, 2); 3252723738836191321121124179382, так как 24·179>1000. Ответ: .

d) =; =1 ; ; ; =((1, 2)) 121212121134111541561531238113041102, так как 30·41>1000. Ответ: .

7. Найти действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби: a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))

Решение: a) (4, (3, 2, 1)) - смешанная периодическая дробь.

, то есть , где

x=((3, 2, 1)) - чисто периодическая цепная дробь. Так как выражение, начинающееся с четвертого неполного частного 3, имеет тот же вид:

, то мы можем записать x=(3, 2, 1, x)= =, после чего приходим к квадратному уравнению относительно x:

D=64+12·7=148 . Положительное решение и есть x. . Найдем . =4+= Ответ: .

b) ((2, 1))= =(2, 1, )

Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей: 21233+211+1=

D=4+4·2=12

Положительное решение и есть искомое . Ответ: .

8. Решить в целых числах уравнения: a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53. Решение: a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение. (143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида) уравнение решений не имеет. Ответ: . b) 2x+5y=7 (2, 5)=1 уравнение имеет решение в целых числах. Разложим в цепную дробь. =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. ; ; На основании свойства подходящих дробей получим 2·2-1·5 =(-1)3 или 2·2+5(-1)=-1 2·(-14)+5·7=7, то есть частное решение. Все решения могут быть найдены по формулам или

c) 23x+49y=53 (23, 49)=1 существуют целые решения. =(0, 2, 7, 1, 2) , , , , 17·23-8·49=(-1)5 23·17+49·(-8)=-1 23·(-901)+49·424=53

или

9. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно из которых кратно 11, а второе 17.

Решение: Пусть 11x первое число 11x>0 x>0;17y - второе число 17y>0 y>0. Тогда 11x+17y=150 (11, 17)=1существуют решения. (11, 17)=(0, 1, 1, 1, 5) 0111501121111231711·3-2·17=(-1)5=1 11·3+17·(-2)=-1 11·(-450)+17·300=150 x=-450+27·17=999 - первое число y=300-11·27=351 - второе число. Ответ: 99; 51.

10. Решить уравнения Пелля: a) b) Решение: a) Представим в виде цепной дроби:

=(5, (10)). Количество чисел в периоде нечетное (одна) =(5; 10)=. - наименьшее положительное решение. Ответ: x=51, y=10.

b)

=(4, (2, 1, 3, 1, 2, 8)) Количество чисел в периоде четное (шесть) 42131249134861170123111439 Ответ: x=170, y=39.

Заключение Данная курсовая работа показывает значение цепных дробей в математике. Их можно успешно применить к решению неопределенных уравнений вида ax+by=c. Основная трудность при решении таких уравнений состоит в том, чтобы найти какое-нибудь его частное решение. Так вот, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого частного решения. Цепные дроби можно применить и к решению более сложных неопределенных уравнений, например, так называемого уравнения Пелля: (). Бесконечные цепные дроби могут быть использованы для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, для быстрого вычисления значений отдельных функций. В настоящее время цепные дроби находят все большее применение в вычислительной технике, ибо позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ