Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Алгебра

скачать реферат

точки пересечения двух линий свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих линий. Такой метод решения геометрических задач получил название аналитической геометрии. Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения, касающиеся алгебраических уравнений: теорему Безу о делимости многочлена Р (х) на двучлен х - а, где а корень этого многочлена; соотношения Виета между корнями уравнения и его коэффициентами; правила, позволяющие оценивать число действительных корней уравнения; общие методы исключения неизвестных из систем уравнений и т.д. Особенно далеко было продвинуто в XVIII в. решение систем линейных уравнений для них были получены формулы, позволяющие выразить решения через коэффициенты и свободные члены. Дальнейшее изучение таких систем уравнений привело к созданию теории матриц и определителей. В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение носит название основной теоремы алгебры. В течение двух с половиной столетий внимание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего уравнения 5-й степени. Надо было выразить корни этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечений корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в начале XIX в, итальянец П. Руффини и норвежец Н. Абель независимо друг от друга доказали, что такой формулы не существует. Эти исследования были завершены французским математиком Э. Гачуа, методы которого позволяют для каждого данного уравнения определить, решается ли оно в радикалах. Один из крупнейших математиков К. Гаусс выяснил, при каких условиях можно построить циркулем и линейкой правильный n-угольник вопрос оказался связанным с изучением корней уравнения хn = 1. Выяснилось что эта задача разрешима лишь в случае, когда число п является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма (простыми числами Ферма называются простые числа, представимые в виде 22n + 1, до сих пор известны лишь пять таких чисел 3, 5, 17, 257, 65537) Тем самым молодой студент (Гауссу было в то время лишь 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий. В начале XIX в. были решены основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития. Она получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, и, более того, алгебраические методы стали применяться для решения геометрических задач. Были разработаны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел. Поверхностному наблюдателю могло показаться, что теперь математики будут решать новые и новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако развитие алгебры пошло иным путем: из науки о буквенном исчислении и уравнениях она превратилась в общую науку об операциях и их свойствах. После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных чисел” - чисел с несколькими “мнимыми единицами”. Такую систему чисел, имевших вид а + bi+ cj + dk, где i2 =j2 = k2= - 1, построил в 1843 г. ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действий над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности):
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




например, ij= k, a ji= -k С операциями, свойства которых лишь отчасти напоминают свойства арифметических операций, математики XIX в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский математик А. Кэли ввел общую операцию умножения матриц и изучил ее свойства. Оказалось, что к умножению матриц сводятся и многие изучавшиеся ранее операции. Английский логик Дж. Буль в середине XIX в. начал изучать операции над высказываниями, позволявшие из двух данных высказываний построить третье, а в конце XIX в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над множествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что как операции над высказываниями, так и операции над множествами обладают свойствами коммутативности (переместительности), ассоциативности (сочетательности) и дистрибутивности (распределительности), но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.) Таким образом, в течение XIX в. в математике возникли разные виды алгебр: обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, матриц, высказываний, множеств и т.д. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно поэтому формулы, которые в VI классе устанавливают для рациональных значений букв, оказываются верными и для любых действительных (и даже любых комплексных) значений тех же букв. Одинаковыми оказались и правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к созданию абстрактного понятия композиции, т.е. операции, которая каждой паре (а, b) элементов некоторого множества Х сопоставляет третий элемент с того же множества. Композициями были сложение и умножение как натуральных, так и любых целых, а также рациональных, действительных и комплексных чисел, “умножение” матриц, пересечение и объединение подмножеств некоторого множества U и т.д. А вычитание и деление во множестве натуральных чисел не являются композициями, так как и разность, и частное могут не быть натуральными числами. Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача алгебры - изучение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются. Иными словами, алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах законов композиции, свойствах операций. При этом два множества, в каждом из которых заданы композиции, стали считаться тождественными с точки зрения алгебры (или, как говорят, “изоморфными”), если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композициями изоморфны, то, изучая одно из них, мы узнаем алгебраические свойства другого. В наши дни алгебра - одна из важнейших частей математики, находящая приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.

скачать реферат
1 2

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы