Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Комплексные числа и действия с ними

скачать реферат

Министерство Образования Российской Федерации Отдел образования Ленинского района Техничестая школа-лицей.

Д О К Л А Д Комплексные числа и действия с ними. Ученика 9 “а” класса Князева Вячеслава.

г. Владивосток 1998

1. История развития комплексных чисел. Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке. И до этого открытия при решении квадратного уравнения x2 + + = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из (p/2)2 - q, где величина (p/2)2 была меньше, чем q. Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень. Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием. 2.О комплексных числах. Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными. Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b действитель- ные числа , а i число нового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0). Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведе- ние i*i равно 1, т.е. i2= -1. (1) Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике. Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен. Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. 3. Соглашение о комплексных числах. 1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a 0i). П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись 2 + 0i означает 2. 2.
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi. 3. Два комплекных a + bi, a + bi считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a, b = b. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: 2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом. З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i. 4.Сложение комплексных чисел О п р е д е л е н и е. Суммой комплексных чисел a + bi и a + bi называют комплексное число (a + a) + (b + b)i. Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами. Пример 1. (-3 + 5i) + (4 8i) = 1 - 3i Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9). Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 3i) = - 4 В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу. З а м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i. 4.Вычитание комплексных чисел. О п р е д е л е н и е. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a + bi (вычитаемое) называется комплексное число (a a) + (b b)i. Пример 1. (-5 + 2i) (3 5i) = -8 + 7i Пример 2. (3 + 2i) (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6 5.Умножение комплексных чисел. Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a + bi можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a + bi) должно равняться aa + (ab + ba)i + bbi2 , а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa bb) + (ab + ba)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение. О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a + bi называется комплексное число (aa bb) + (ab + ba)i. З а м е ч а н и е 1. Равенство i2 = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 , т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a = 0, b = 1 Имеем aa bb = -1, ab + ba = 0, так что произведение есть 1 + 0i, т. е. 1. З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1. Пример 1. (1 2i)(3 + 2i) = 3 6i + 2i 4i 2 = 3 6i + 2i + 4 = 7 4i. Пример 2. (a + bi)(a bi) = a2 + b 2 Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число. 6. Деление комплексных чисел. Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение. О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное

скачать реферат
1 2

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы