Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Алгебраическая проблема собственных значений

скачать реферат

между собственными значениями, вычисленными в последовательных итерациях, не станет менее 0,01%. В программе использованы две подпрограммы GMPRD из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, служащая для перемножения матриц и NORML, нормирующая собственные векторы по наибольшему элементу.

{**********************************************************************}

????????? ??????????? ??????????? ???????? ????????? ????????? ?????????? ?????????? ??????? ?????????? (??????????? ????????) ??? ??????? ?????????? ???????????? ?????????. ??????????? ????? ????????. ???? ????????????, ????? ????????? ???????????? ???????? ?????????? ????? 0,01 ???????? ??? ????? ???????? ????????? 50.

{**********************************************************************} DIMENSION S(3,3),X(3),R(3) S(1,1) = 10.E06 S(1,2) = 5.??6 S(2,1) = S(1,2) S(1,3) = 6.E06 S(3,1) = S(1,3) S(2,2) = 20.E06 S(2,3) = 4.E06 S(3,2) = S(2,3) S(3,3) = ?0.?06 X(1) = 1. ?(2) = 0.0 ?(3) = 0.0 XOLD = 0.0 I = 0

WRITE(6 100) WRITE(6 101) WRITE(6 102) WRITE(6 100) WRITE(6 104) I,X(1),X(2),X(3) DO 1 1=1,50 CALL GMPRD (S, X, R, 3, 3, 1) DO 2 J=1,3

2 X(J) = R(J) CALL NORML(XLAM,X) WRITE(6,103) I,XLAM,X(1),X(2),X(3) IF(ABS((XOLD-XLAM)/XLAM).LE.0.0001) GO TO 3

1 XOLD = XLAM 3 WRITE(6,100)

100 FORMAT (1X 54C'-'')) 101 FORMAT (2X ITERATION, ?? ITERATION, 11X,EIGENVECTOR') 102 FORMAT (3X 'NUMBER", 6X ,'(N/M**2), 5X, X(1), 6X,'X(2)',6X,X(3)) 103 FORMAT (1X,I5,7X,E12.5,3F10.5) 104 FORMAT (1X,I5,19X,3F10.5) STOP END

{**********************************************************************} SUBROUTINE NORML(XL,X) DIMENSION X(3) {**********************************************************************} ???????????? norml. ??? ???????????? ??????? ?????????? ?? ???? ????????? ???????????? ??????? ? ????????? ??????????? ?????? ?? ????? ??????????? ????????. {**********************************************************************}

# FIND THE LARGEST ELEMENT

XBIG = X(1) IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2) IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

# Нормирование по XBIG X(l) = X(1)/XBIG X(2) = X(2)/XBIG X(3) = X(3)/XBIG XL = XBIG RETURN END {**********************************************************************} Результат работы программы получаем в виде:

Номер ИтерацииСобственное Значение ( N / M ** 2 ) Собственный вектор X (1) X (2) X (3)0.1.000000.0.1. 0.10000 Е 081,000000.500000.600002. 0.26000Е 080.619230.669231.000003. 0.36392Е 080.426970.562781.000004. 0.34813Е 080.375830.499541.000005. 0.34253Е 080.357810.463311.000006. 0.34000Е 080.349840.442801.000007. 0.33870Е 080.345800.431211.000008. 0.33800Е 080.343620.424661.000009. 0.33760Е 080,342400.420941.0000010. 0.33738Е 080.341710.418841.0000011. 0.33726Е 080.341320.417651.0000012. 0.33719Е 080,341100.416971.0000013. 0.33714Е 080.340930.416581.0000014. 0.33712Е 080.340910.416361.00000 Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.

Определение наименьшего собственного значения методом итераций В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предварительно умножив исходную систему на матрицу, обратную A: А-1АX=А-1X. Если обе части этого соотношения умножим на 1/, то получим 1/ Х = A-1X. Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для которой оно равно 1/, а рассматриваемой матрицей является A-1. Максимум 1/, достигается
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




при наименьшем . Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использована для определения наименьшего собственного значения новой системы.

Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу матрицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наибольшим собственным значением 1 и собственным вектором X1 можно воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать ХiT Хj =0 при i<>j и ХiT Хj =1 при i=j. Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой A* =A-1Х1 Х1T, то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением А*Xi =iXi. Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что A* Хi = AХi -Х1 Х1TXi.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду A Х1 - 1 Х1.

Но по определению собственных значений матрицы A это выражение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение 1 матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения 0, 2, 3,. . ., n и соответствующие собственные векторы Х1, Х2, Хз,. . . .... Хn. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение 1 было изъято, и теперь, чтобы найти следующее наибольшее собственное значение 2, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив 2 и Х2, повторим весь процесс, используя новую матрицу A**, полученную с помощью A*, 2 и Х2. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет существенные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точности определения следующего собственного вектора и вызывать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется получить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МЕТОДАМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида. Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожалению, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме.

Метод Якоби

Метод Якоби позволяет привести матрицу к диагональному виду, последовательно, исключая все элементы, стоящие вне главной диагонали. К сожалению, приведение к строго диагональному виду требует бесконечно большого числа шагов, так как образование нового нулевого элемента на месте одного из элементов матрицы часто ведет к появлению ненулевого элемента там, где ранее был нуль. На практике метод Якоби рассматривают, как итерационную процедуру, которая в принципе позволяет достаточно близко подойти к диагональной форме, чтобы это преобразование можно было считать законченным. В случае

скачать реферат
1 2 3 4 5

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы