Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Алгебраическая проблема собственных значенийсимметричной матрицы A действительных чисел преобразование выполняется с помощью ортогональных матриц, полученных в результате вращении в действительной плоскости. Вычисления осуществляются следующим образом. Из исходной матрицы А образуют матрицу A1 == Р1АР1T. При этом ортогональная матрица Р1 выбирается так, чтобы в матрице А1 появился нулевой элемент, стоящий вне главной диагонали. Затем из А1 с помощью второй преобразующей матрицы Р2, образуют новую матрицу A2. При этом Р2, выбирают так, чтобы в A2 появился еще один нулевой внедиагональный элемент. Эту процедуру продолжают, стремясь, чтобы на каждом шаге в нуль обращался наибольший внедиагональный элемент. Преобразующая матрица для осуществления указанной операции на каждом шаге конструируется следующим образом. Если элемент аkl матрицы Ат-1 имеет максимальную величину, то Рт соответствует
Pkk = Pll = cos ,
Pkl = - Plk = sin ,
Pii = 1 при i <> k, l, Pij = 0 при i <> j. В случае матрицы размерности п х п метод Гивенса требует п 2 основных шагов, на каждом из которых выполняется ряд преобразований, число которых зависит от числа нулей, которое хотят получить в данном столбце или строке. На k -м шаге обращают в нули элементы, стоящие вне трех диагоналей k-й строки и k -го столбца, сохраняя в то же время нулевые элементы, полученные на предыдущих шагах. Таким образом, перед началом k -го шага преобразованная матрица является трехдиагональной, если ограничиться рассмотрением ее первых k 1 строк и столбцов. По мере преобразований симметричная матрица размерности 5х5 приобретает следующие формы: **********A0=*****исходная матрица,********** **000*****A1=0****после первого основного шага, 0****состоящего из трех преобразований,0**** **000***00A2=0****после второго основного шага,00***состоящего из двух преобразований,00*** **000***00после третьего основного шага,A3=0***0состоящего из одного преобразования.00***Теперь матрица имеет трехдиагональный вид.000** На каждом основном шаге изменяются лишь те элементы матрицы аij, которые расположены в ее правой нижней (заштрихованной) части. Таким образом на k-м шаге преобразуется только матрица порядка (п k + 1), занимающая правый нижний угол исходной матрицы. Ясно, что на каждой следующей стадии выполняется меньшее число преобразований, чем на предыдущей. Всего для приведения матрицы к трехдиагональному виду требуется выполнить (n2 Зп + 2)/2 преобразований. Наш опыт применения метода Гивенса показывает, что можно при выполнении одного шага преобразований обратить в нуль сразу все элементы целой строки и столбца, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод, позволяющий выполнить такое преобразование, предложил Хаусхолдер . Метод Хаусхолдера для симметричных матриц Метод Хаусхолдера позволяет привести матрицу к трехдиагональному виду, выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это обусловлено тем, что при его применении становятся нулевыми сразу все элементы строк и столбцов, стоящие вне трех диагоналей матрицы. Метод Хаусхолдера позволяет получить требуемый результат быстрее, чем метод Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более сложных преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно к большим матрицам. Хотя в методе Хаусхолдера вместо плоских вращении используются эрмитовы ортогональные преобразования матриц, трехдиагональная форма матрицы, которую получают этим методом, имеет те же собственные значения, что и трехдиагональная матрица, получаемая методом Гивенса. При использовании метода Хаусхолдера на п 2 основных шагах выполняются следующие преобразования: Аk = РkAk-1Рk, k=1, 2, ..., п-2, где Aо == А. Каждая преобразующая матрица имеет вид uk ukT Pk = E - -------------- , 2Kk2 где ui,k = 0 при i = 1, 2, …, k, ui,k = ak,i при i = k+2, …, n, uk+1,k = ak,k+1 Sk. Здесь n 1/2 Sk = a2k,i i=k+1 2K2k = S2k ak, k+1 Sk. В этих уравнениях берется знак, соответствующий элементу ak,k+1. Это позволяет сделать значение иk+1,k максимальным. Отметим, что методами Гивенса и Хаусхолдера можно пользоваться и в случае несимметричных матриц, приводя их, правда, не к трехдиагональному, скачать реферат 1 2 3 4 5 Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |