Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Алгебраическая проблема собственных значений

скачать реферат

а другому частному виду треугольной матрицы известной как матрица Гессенберга:

**0000***000****00*****0************

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ

Приведя симметричную матрицу к трехдиагональному виду методом Гивенса или Хаусхолдера, необходимо найти ее собственные значения. Чтобы ясней были достоинства трехдиагональной формы, сформулируем задачу о собственных значениях в виде dеt(АE) = 0, где А симметричная трехдиагональная матрица. Раcкрыв выражение в скобках, получим

a1 - b20b1a2 - = 0bn0bnan - Произвольный определитель порядка п можно выразить через п миноров порядка п 1, каждый из которых в свою очередь выражается через п 1 миноров порядка п 2. Удобство трехдиагональной формы в том, что на каждом шаге все миноры, кроме двух, оказываются равными нулю. В результате исходный определитель представляется последовательностью полиномов fm() = (am - ) fm-1 () b2 m fm-2(). Приняв f0 () = 1 и f1 () = a1 - при r = 2, .... п,

получим совокупность полиномов, известную как последовательность Штурма и обладающую тем свойством, что корни полинома fj () располагаются между корнями полинома fj+1 (). Поэтому для f1 () = a1 можно утверждать, что значение К = а1 заключено между корнями полинома f2 () == (a2 ) (a1 ) b22. Это облегчает итерационное определение корней полинома, так как если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полинома, то их можно найти методом половинного деления. Так последовательно находят корни всех полиномов, и последний из них fn () дает все искомые п собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см. рис. 3).

Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством: для любого значения b, при котором fn (b) <> 0, число собственных значений матрицы A, больших b, равно числу изменений знака последовательности 1, f1 (b), f2 (b), … , (1)n fn (b). Если целое число, равное числу изменений знака, обозначить через V(b), то число собственных значений в интервале действительных чисел [b, с] будет равно V(b)V(c).

………………………………………………………………………………………………………..

Рис. 3. Итерационное определение корней полинома

6. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

В этом разделе мы рассмотрим два метода определения собственных значений, имеющие большое практическое значение. Оба разработаны в последние 20 лет и наиболее эффективны в тех случаях, когда требуется найти все собственные значения произвольной матрицы действительных или комплексных чисел. В обоих используются преобразования, позволяющие получить последовательность подобных матриц, сходящуюся к матрице блочной треугольной формы:

X1*……***x2*……***x3……***……***…***…**0…** где блоки Хm, представляют собой матрицы размерности 2 х 2, расположенные на главной диагонали. Собственные значения блоков Хm, являются в то же время собственными значениями исходной матрицы размерности п x п. Такая форма удобна, так как детерминант второго порядка блоков Хm позволяет определять комплексные собственные значения, не вводя комплексных элементов в окончательную матрицу. Если все собственные значения исходной матрицы действительные, то в окончательном виде она будет треугольной, причем собственные значения будут расположены на диагонали.

Метод LR

Этот метод первоначально был разработан Рутисхаузером в 1958 г. Метод основан на представлении матрицы A в виде произведения А = LR, где L
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




левая треугольная матрица с единичными диагональными элементами, а R правая треугольная. Применяя преобразование подобия L-1 A R, видим, что, A2 = L-1 A R = L-1 (RL)L = R L. Следовательно, Am-1 = L m-1 Rm-1, Am = R m-1 Lm-1.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока Ls не превратится в единичную матрицу Е, а Rs не приобретет квазидиагональную форму. Хотя этот метод очень удобен, он не всегда устойчив. Поэтому предпочтение часто отдают другому методу.

Метод QR Метод QR. предложен Фрэнсисом в 1961 г. Соответствующий ему алгоритм определяется соотношением Am = Q m Rm.

где Q m ортогональная матрица, а Rm верхняя треугольная матрица. При использовании метода последовательно получаем Am+1 = Q mT Am Q m = Q mT Q m Rm Q m = Rm Q m.

В пределе последовательность матриц А стремится к квазидиагональной форме. Этот метод сложнее предыдущего и требует больших затрат машинного времени. Однако его устойчивость,обусловленная использованием ортогональных преобразующих матриц, обеспечила ему прочную репутацию лучшего метода решения задач самой общей формы.

Пример 3 Пусть требуется найти все собственные значения произвольной матрицы размерности 6 x 6

2,34,35,63,21,42,21,42,45,78,43,45,22,56,54,27,14,79,33,85,72,91,62,57,92,45,43,76,23,91,81,81,73,94,65,75,9 Сделаем это в два приема, приведя сначала матрицу с помощью преобразования подобия к виду Гсссенберга, затем с помощью разновидности метода QR найдем собственные значения. В приведенной ниже программе использованы две подпрограммы из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ. Подпрограмма НSВС преобразует матрицу размерности 6 x 6 к форме Гессенберга, а подпрограмма АТЕIG позволяет найти собственные значения.

{**********************************************************************} ????????? ??????????? ???? ??????????? ???????? ???????????? ??????? ??????????? 6?5. ???????????? ???????????? ?S?? ? ???IG ?? ?????? ???????? ??? ??????? ???????????? ????? IBM {**********************************************************************} DIMENSION A(6,6),RR(6),RI(6),IANA(6) READ(5,100)((A(I,J),J=1,6),I=1,6) WRITE(6,104) 104 FORMAT(///lX,THE ORIGINAL MATRIX IS AS FOLLOWS) WRITE(6,103) 103 FORMAT(1X,65(-'--')) WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6) WRITE(6,103) 101 FORMAT(6(1X,F10.5)) 100 FORMAT(6F10.5) CALL HSBG(6,A,6) WRITE(6,105) 105 FORMAT(///1X,'THE MATRIX W HESSENBUR5 FORM IS') WRITE(6,103) WRITE(6,101)((A(I,J),J=1,6),I=1,6) WRITE(6,103) CALL ATEIG(6,A,RR,RI,IANA,6) WRITE(6,106) 106 FORHAT(///1X,'THE EIGENVALUES ARE AS FOLLOUS') WRITE(6,107) 107 FORMAT (1X, 23(-),/,4X,REAL',12X,IMAG,/,23(-)) WRITE(6,102)(RR(I),PKI),I=1,6) WRITE(6,108) 108 FORMAT(1X,23(-)) FORMAT<2(2X,F10.5)» STOP END

Результат получаем в виде

Исходная матрица имеет вид

2.300004.300005.600003.200001,400002.200001.400002.400005.700008.400003.400005.200002.500006.500004.200007.100004.700009.300003.800005.700002.900001.600002.500007.900002.400005.400003.700006.200003.900001.800001.800001.700003.900004.600005.700005.90000

Матрица в форме Гессенберга.

-1.131623.20402 -0, -0.05631 3.88246 1.40000 2.20000-0.758230.07468 0, 0.48742 6.97388 5.37А3510.36283 0.1.13783 -2,-2.6380310.18618 7.1529717.06242 0. 0. 3.35891 7. 50550 7.0975413.92154 0. 0.0.13.3627910.5894716.78421 0. 0.0.0. 5.70000 5.90000 Собственные значения ----------------------------------- Действит. Миним. ----------------------------------- 2

скачать реферат
1 2 3 4 5

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы