Поиск по сайту

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

скачать реферат

позволяет решать названную задачу. Пусть - исходные векторы в задаче (14*), - соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор наилучшего приближения и - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13) обеспечит не менее точное приближение f(), чем F(1): . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее оптимальное разбиение и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда . На следующем шаге по разбиению строим и оператор П(3) и т.д. В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции . Выберем произвольно попарно различные векторы из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn . Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), множества , j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными пересечениями множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2... -измеримы и является продолжением 5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения поля зрения X. Задано разбиение , требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом Ai,i=1,...,N. Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса. Запишем изображение (5) в виде (17) где . Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X, - индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения изображениями (17), не требуя, чтобы (18) Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A1,...,AN поля зрения X, (см. Лемму 3). Так как

то минимум S (19) по достигается при , (20) и равен (21) Задача (18) тем самым сведена к задаче

. (22) В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор . (23) Максимум (неотрицательной) квадратичной формы на сфере в Rn, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе yi оператора Фi, отвечающем максимальному собственному значению >0, , и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое разбиение X, причем m(Ai)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения изображениями g() (17) является изображение

(24) Операторы ,i=1,...,N, и - нелинейные (зависящие от f()) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор оператора Фi (23), отвечающий наибольшему собственному значению ri, ; (25) П проецирует в изображение на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения Невязка наилучшего приближения (19*). Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Фi (23). Поскольку Фi самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Фi неотрицательны и среди них ri - наибольшее. Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, и П
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

 введем обозначения, указывающие на зависимость от f():

(26*) Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов Пi, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами. Пусть fi - cсобственный вектор Фi , отвечающий максимальному собственному значению ri. Чтобы определить следует решить задачу на собственные значения для оператора : . Поскольку rank=1, имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно ri, и ему соответствует единственный собственный вектор fi. Поэтому . Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для Лемма 4. Для любого изображения решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом . Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор fi оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri, можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации: , составляющие содержание леммы. Действительно, если то согласно (23) , поскольку включение означает, что; отсюда и из (25) получим, что ,i=1,...,N, а поэтому и в (24) . Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором , выходной сигнал i-го детектора в точке (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n, где , . Так как матрица симметрическая и неотрицательно определенная () она имеет n неотрицательных собственных значений, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным: . Следовательно, вектор fi определен с точностью до положительного множителя , . Замечание 4. Если , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 , . Наоборот, если , то , т.е. определяется выражением (17), в котором . Итак, пусть в изображении g() (17) все векторы f1,.…..,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком смысле изображения (17) есть множество решений уравнения ,, (27) где , fi - собственный вектор оператора Фi: , отвечающий максимальному собственному значению ri, i=1,...,N . В данном случае , если и только если выполнено равенство (27). Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17). Заданы векторы цвета 1,..., q, требуется определить разбиение A1,..., Aq, на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета 1,..., q и оптимальные распределения яркостей . Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения . (28) Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого , (29) и достигается на , (30) то, как нетрудно убедиться, , (31) где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки xX, в которых выполняется равенство могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или Aj. Пусть - разбиение , в котором (32) а F: Rn Rn оператор, определенный условием (33) Тогда решение задачи (28) можно представить в виде , (34) где - индикаторная функция множества Ai (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в по формуле (34) (см. сноску

скачать реферат

---

первая   ... 2 3 4 5 6 7 8