Рефераты / Математика /

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой. Определение: Система векторов называется линейно независимой, если равенство нулю линейной комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из того, что следует . Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта система является линейно зависимой.

Действительно, из векторов системы можно составить линейную комбинацию , которая не является тривиальной.

Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система векторов линейно зависима.

Действительно, если система векторов линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация . Для любой системы векторов линейная комбинация также является нетривиальной.

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Действительно, либо оба коллинеарных вектора равны нулю, и тогда равна нулю любая их линейная комбинация (в том числе и нетривиальная), либо один из них не нуль, и тогда, в силу теоремы из второго раздела, другой отличается от него на числовой множитель. Запишем это: . Но эта же запись означает, что , и мы имеем нетривиальную линейную комбинацию, равную нулю. Наоборот, допустим, что два неколлинеарных вектора и линейно зависимы. Тогда существуют коэффициенты л и м такие, что , причем, например, л ? 0. Это означает, что , и векторы коллинеарны, вопреки нашему предположению.

Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы. Теорема: Любой вектор лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами и , может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа л и м, что ). Такое представление единственно.

Заметим, прежде всего, что оба вектора и отличны от нуля, так как если бы хоть один из них был нулевым, то они были бы коллинеарны. Если вектор коллинеарен одному из данных векторов, то утверждение сводится к теореме из второго раздела. В общем случае перенесем все три вектора в одну точку О (рис. 6). Через конец C вектора проведем прямые CР и CQ, параллельные векторам и . Тогда , причем векторы и коллинеарны соответственно и . В силу теоремы из второго раздела существуют и определены однозначно такие числа л и м, что , . Таким образом, , что и требовалось. Допустим теперь, что существует другая линейная комбинация , равная , причем, например л ? у. Тогда , так как иначе мы имели бы две прямые, проходящие через точку C параллельно вектору . Из последнего равенства вытекает, что у = л, в противоречие с нашим предположением.

Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

В самом деле, пусть векторы , , линейно зависимы, тогда один из них есть линейная комбинация двух других. Пусть, например . Приложим векторы , , к одной и той же точке О (рис. 7), так что , , . Предположим сначала, что векторы , не коллинеарны; тогда несущие их прямые определяют некоторую плоскость. В этой плоскости лежат и векторы и , а значит, и весь параллелограмм, на этих векторах построенный, в частности и его диагональ . Значит все три вектора , , компланарны. Если векторы и коллинеарны, то коллинеарны как векторы , , так и их сумма - три вектора , , оказываются даже коллинеарными. Если же векторы , , компланарны, то либо один из них, например , лежит в одной плоскости с двумя другими неколлинеарными
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ