Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Сумма делителей числа

скачать реферат

[189] [190] [191] [192] [193] [194] [72,195] [196] [197] [198] [199] [200] Как мы заметили, есть такие числа, которые не являются суммой делителей ни одного числа и так же есть такие числа, которые являются суммой делителей ни одного, а нескольких чисел. Теперь посмотрим только те числа, которые являются суммой делителей ни одного, а нескольких чисел: [6,12], [11,12] [10,18], [17,18] [14,24], [15,24], [23,24] [16,31]. [25,31] [21,32], [31,32] [20, 42], [26,42], [41,42] [33,48], [35,48], [47,48] [34,5 4], [53,54] [28,56], [39,56] [24,60], [38,60], [59, 60] [30,72], [46,72], [51,72], [55,72], [71,72] [57,80], [79,80] [44,84], [65,84], [83,84] [40,90], [58, 9 0], [89,90] [42,96], [62,96], [69,96], [77,96] [52,98], [97,98] [54,120], [56, 120], [87,120], [95,120] [48,124], [75,124] [68,126], [82,126] [66,144], [70, 144], [94,144] [60,168], [78,168], [92,168]

Отсюда можно сделать вывод, что нахождение числа по его сумме делителей не всегда возможно и не всегда однозначно.

Теперь построим график. По оси Х расположим числа, а по оси Y их сумму делителей (числа от 1 до 1000): Посмотрим, что же у нас получилось: на графике отчётливо просматриваются несколько прямых линий, например, нижняя это простые числа. Верхняя граница это наиболее сложные числа (имеющие наибольшее количество делителей) - это не прямая, но и не парабола. Скорее всего, это показательная функция (у = ах). В мемуарах Эйлера я нашел много интересных мне рассуждений(у(n) сумма делителей числа n): Определив значение у(n) мы ясно видим, что если p простое, то у(p)= p + 1. у(1)=1, а если число n составное, то у(n)>1 + n. Если a, b, c, d различные простые числа, то мы видим: у(ab)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)= у(a)у(b) у(abcd)= у(a)у(b)у(c)у(d)

у(a^2)=1+a+a2= у(a^3)=1+a+a2+a3= И вообще у(nn)= Пользуясь этим: у(aqbwcedr)= у(aq)у(bw)у(ce)у(dr) Например у(360), 360 = 23*32*5 => у(23) у(32) у(5)=15*13*6=1170. Чтобы показать последовательность сумм делителей приведём таблицу:

n01234567890-1347612815131018122814242431183920204232362460314240563030723263485448913860564090429644847872481245750937298541207212080906060168629610412784144681269670144721957411442414096168808018612112684224108132120180909023411216812814412025298171156 Если у(n) обозначает член любой этой последовательности, а у(n - 1), у(n - 2), у(n - 3)… предшествующие члены, то у(n) всегда можно получить по нескольким предыдущим членам: у(n) = у(n - 1) + у(n - 2) - у(n - 5) - у(n - 7) + у(n - 12) + у(n - 15) - у(n - 22) - у(n 26) + … (**) Знаки «+» «-» в правой части формулы попарно чередуются. Закон чисел 1, 2, 5, 7, 12, 15…,которые мы должны вычитать из рассматриваемого числа n, станет ясен если мы возьмем их разности: Числа:1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100… Разности: 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8… В самом деле, мы имеем здесь поочередно все целые числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… и нечетные 3, 5, 7,9 11… Хотя эта последовательность бесконечна, мы должны в каждом случае брать только те члены, для которых числа стоящие под знаком у, еще положительны, и опускать у для отрицательных чисел. Если в нашей формуле встретиться у(0), то, поскольку его значение само по себе является неопределённым, мы должны подставить вместо у(0) рассматриваемое число n. Примеры: у(1) = у(0) =1 = 1 у(2) = у(1) + у(0) = 1 + 2 = 3 … у(20) = у(19)+у(18)-у(15)-у(13)+9у(8)+у(5)=20+39-24-14+15+6= 42 Доказательство теоремы (**) я приводить не буду.

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ





Вообще, найти сумму всех делителей числа можно с помощью канонического разложения натурального числа (это уже было сказано выше). Сумму делителей числа n обозначают у(n). Легко найти у(n) для небольших натуральных чисел, например у(12) = 1+2+3+4+6+12=28(это было приведено выше). Но при достаточно больших числах отыскивание всех делителей, а тем более их суммы становится затруднительным. Совсем другое дело, если уже известно, что каноническое разложение числа n таково:. Его делителями являются все числа , для которых 0 ? вs ? бs, s = 1, …, k. Ясно, что у(n) представляет собой сумму всех таких чисел при различных значениях показателей в1, в2, … вk. Этот результат мы получим раскрыв скобки в произведении

По формуле конечного числа членов геометрической прогрессии приходим к равенству

(*)

По этой формуле у(360) = .

Формулу для вычисления значения функции у(n) вывел замечательный английский математик Джон Валлис(1616 - 1703) один из основателей и первых членов Лондонского Королевства общества (Академии наук). Он был первым из английских математиков, начавших заниматься математическим анализом. Ему принадлежат многие обозначения и термины, применяемые сейчас в математике, в частности знак ? для обозначения бесконечности. Валлис вывел удивительную формулу, представляющую число р в виде бесконечного произведения:

Д. Валлис много занимался комбинаторикой и её приложениями к теории шифров, не без основания считая себя родоначальником новой науки криптологии (от греч. «криптос» - тайный, «логос» - наука, учение). Он был одним из лучших шифровальщиков своего времени и по поручению министра полиции Терло занимался в республиканском правительстве Кромвеля расшифровкой посланий монархических заговорщиков. С функцией у(n) связан ряд любопытных задач. Например: 1.) Найти пару целых чисел, удовлетворяющих условию: у(m1)=m2, у(m2)=m1. Некоторые из них не удаётся решить даже с использованием формулы (*). Так, например, не иначе как подбором можно найти числа, для которых у(n) есть квадрат некоторого натурального числа. Такими числами являются 22, 66, 70, 81, 343, 1501, 4479865. Вот ещё две задачи, приведённые в 1657 г. Пьером Ферма: 1.) найти такое m, для которого у(m3) квадрат натурального числа (Ферма нашёл не одно решение этой задачи); 2.) найти такое m, для которого у(m2) куб натурального числа. Например, одним из решений первой задачи является m = 7, а для второй m = 43098. С помощью программы Derive, я попробовал найти ещё решения и у меня этого не получилось. (я рассматривал у(m3) = n2, где m принимает значения от 1 до 1000, а n от 1 до 5000 в 1.) и тоже самое в 2.) )

Формулы: 1. DELITELI(m) := SELECT(MOD(m, n) = 0, n, 1, m) DIMENSION(DELITELI(m)) 2. SUMMADELITELEY(m) := У ELEMENT(DELITELI(m), i) i=1

скачать реферат
первая   ... 5 6 7 8

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы