Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле

скачать реферат

формула Вилля для кругового кольца [2], [3].

§3. Интегральная формула Анри Вилля проблема Дирихле для кругового кольца (1912).

Пусть в плоскости комплексного переменного дано круговое кольцо , ограниченное окружностями , , где заданное положительное число <1. Требуется найти регулярную и однозначную внутри области функцию , если известны значения ее вещественной части на границах кольца. Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца Г. (1869г) (п.1) , (, ), где с действительная переменная. Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности определяется аргументом этой точки, так что представляет значение вещественной части искомой функции в точке . Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы, аналогичной формуле (1). Обозначим через и значения вещественной части искомой функции в точках с аргументом на внешней, соответственно внутренней, границе . Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле переход от односвязной области к двусвязной. Величина , где интеграл справа берется по окружности радиуса () с центром в точке , очевидно, не зависит от . Тем же свойством обладает и вещественная часть написанного интеграла. Отсюда, приближая вначале к 1, а замечая, что в интеграле можно

сделать требуемые предельные переходы, получим: . (30) Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется. Искомая функция может быть разложена в ряд Лорана . (31) Мы найдем разложения обеих функций , в ряды Фурье. Из этих разложений получаются коэффициенты в виде некоторых интегралов и подставляя в (31) получим известную формулу Анри Вилля для кругового кольца в форме Н.И.Ахиезера [7]. , (32) где с произвольная вещественная константа, - произвольное положительное число, а чисто мнимое число находится с помощью равенства , (33) , и, наконец - функция Вейерштрасса. Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы Шварца для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в монографии Н.Ахиезера [7].

а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32).

Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7].

, (34) где из (33) следует, что , где - положительное действительное число, можно придать более компактную форму, если несколько преобразуем (32), учитывая (33) и замечая, что можно выразить через с учетом граничных свойств: , , ; (35) , . Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет следующий окончательный вид: , (36) где с постоянная. Формулу (36) можно назвать канонической, компактной и контурной интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца.

б) Функции Вейерштрасса.

В виду важности трех функций Вейерштрасса , и для практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим следующие варианты представления данных функций [19] - [22]: 1. (37) или (38) 2. , : , (39) , для действительных нулей полинома возможны следующие частные случаи: : , , . 3. , , где , , . 4. (41) где ; ; ; . 5. , т.е. , (44) где (), , (45) или 6. (46) эллиптическая функция Вейерштрасса . Функция Вейерштрасса , (48) так что . Функция Вейерштрасса определяется с помощью равенства . Из этой формулы следует и

где путь интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов, отличную от точки .

§4. О некоторых применениях
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




теории конформного отображения к краевым задачам.

а) Об структурном классе интегральных представлений.

Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ давно служит: – как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений дифференциальных уравнений. Например, специальные функции функции Бесселя, Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева, гипергеометрическая функция и многие другие являются решениями линейных дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами; – для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического продолжения; – несколько позже нашли применения для решения граничных задач теории аналитических функций и сингулярных уравнений; – исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций различных классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов математического анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца, Чизотти и т.п.) Обширный класс интегральных представлений аналитических функций, используемых для получения и исследования аналитических решений дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой: (49) где - ядро типа Шварца, зависящее от связности данной области, - аналитическая функция, регулярная и однозначная в (n+1) связной канонической круговой области , - заданная плотность вещественная функция в точках , контура круговой области . Вещественные и комплексные таковы, что : , , (, ). (50) По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей плоскости , ограниченную замкнутыми кривыми типа Ляпунова. (Существует касательная в каждой точке , , , - угол между касательными; кривая замкнута и ограничена). Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение задачи Дирихле для области и интегральные формулы Пуассона для : (51) . (52) Из (52) получим: ; . где , , , , , , [4]; В случае круга: , .

Круговое кольцо: ; , где - функция Вейерштрасса, , , , - некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций , , - периоды функции . Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для областей , или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области или интегральными формулами Пуассона для соответствующих канонических областей .

б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей

Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная проблема. Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет немаловажный интерес в теории аналитических и гармонических функций для многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух кругов и для конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей. 1. Построим функцию , дающую конформное отображение на , где , ; (): , (57) где и - постоянные, определяется однозначно по формуле Шварца для соответствующих заданных областей. Пусть - регулярная функция в . Так как подинтегральное выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде: , то (58)

С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид: ; . где и - постоянные (к=1,2). Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти для конечных многосвязных

скачать реферат
1 2 3 4 5 6

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы