 |
 |
 |
 |
 |
 |
Диссертации на заказ
дипломы на заказ
рефераты на заказ
Форум
Наш партнёр:
ChangePoint.Ru -
Обмен WebMoney в Израиле
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ
скачать реферат
на отрезке [a, b], для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы будем обозначать, и называть пространством
Замечание 1.
В математике называют пространством = (a, b) совокупность функций ѓ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на [a, b] вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое пространство есть часть . Пространство обладает многими свойствами пространства , но не всеми.
Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского | (ѓ , ц ) | = (ѓ , ѓ )Ѕ (ц , ц ) Ѕ, которое на языке интегралов выглядит так:
Величина
называется нормой функции f.
Норма обладает следующими свойствами:
1) || f || ? 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;
2) || ѓ + ц || ? || ѓ(x) || || ц ||;
3) || б ѓ || = | б | · || ѓ ||,
где б действительное число.
Второе свойство на языке интегралов выглядит так:
и называется неравенством Минковского.
Говорят, что последовательность функций { fn }, принадлежит к ,сходится к функции принадлежит в смысле среднего квадратического на [a, b] (или ещё по норме ), если
Отметим, что если последовательность функций ѓn (x) сходится равномерно к функции ѓ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ѓ(x) - ѓn (x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b].
В случае же, если ѓn (x) стремится к ѓ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n.
Пример. Пусть на [0, l ] заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ѓn (x) (n = 1, 2,…), причем
(Бугров, стр. 281, рис. 120)
При любом натуральном n
и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n > ?, но неравномерно. Между тем
т. е. последовательность функций {fn (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на [0, 1].
Из элементов некоторой последовательности функций ѓ1, ѓ2, ѓ3,… (принадлежащих ) построим ряд
ѓ1 + ѓ2 + ѓ3 +… (12)
Сумма первых его n членов
у n = ѓ1 + ѓ2 + … + ѓn
есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в существует функция ѓ такая, что
|| ѓ- уn || > 0 (n > ?),
то говорят, что ряд (12) сходится к функции ѓ в смысле среднего квадратического и пишут
ѓ = ѓ1 + ѓ2 + ѓ3 +…
Замечание 2.
Можно рассматривать пространство = (a, b) комплекснозначных функций ѓ(x) = ѓ1(x) + iѓ2(x), где ѓ1(x) и ѓ2(x) действительные кусочно непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ѓ(x) = ѓ1(x) + iѓ2(x) и ц(х) = ц1(х) +i ц2(х) определяется следующим образом:
а норма ѓ определяется как величина
2.1. Интегралы от периодических функций.
Пусть ѓ(x) периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х0, х0+Т]. Тогда величина интеграла остаётся при любом х0 одной и той же: для любых х0, х0'
.
2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических функций.
Укажем значения некоторых интегралов:
(k = 1,2,…), (13)
(k =1,2,..; m =1,2,…), (14)
(15)
(k =1,2,…; m =1,2,…; k ? m),
(k =1,2,…) (16)
Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье ak и bk ряда (2). Для разыскания коэффициента
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ
3. Признаки сходимости рядов Фурье. (стр. 331, Пискунов) Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках? Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости функции ѓ(x) рядом Фурье. (из Пискунова) Определение. Функция ѓ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1, х2, …,хn-1 на интервалы (а, х1), (х1, х2),…, (хn-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая. Теорема. Если периодическая функция ѓ(x) с периодом 2р кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-р, р], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ѓ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ѓ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ѓ(x) справа и слева, т. е. если х = с точка разрыва функции ѓ(x), то . Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики. Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле. («Краткий курс высшей математики», Шнейдер и др., стр. 181) При выводе формул (4), (17), (18) мы заранее предполагали, что функция ѓ(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1). Если же такого предположения не делать, а допустить, что для функции ѓ(x) существуют все интервалы, стоящие в правых частях формул (4), (17), (18), то по этим формулам можно вычислить коэффициенты a0, ak и bk и составить тригонометрический ряд (1), который представляет собой ряд Фурье, соответствующий данной функции. Является ли построенный таким образом ряд Фурье сходящимся и если он сходится,
скачать реферат
1 2 3 4 5 ... последняя
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ
Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!