Поиск по сайту

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Ряды Фурье и их приложения

скачать реферат

удовлетворяющая условиям определения: Пусть функция ѓ(x) с периодом 2р, имеющая на сегменте [-р, р] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте). Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ѓ(x). Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через показательную функцию. Имеем:

, где . Полагая ещё получим для частичных сумм ряда Фурье выражение

Для новых коэффициентов cn получаем формулу (учитывая формулы an и bn).

Непосредственно видно, что эта формула верна для n = 0 и для n < 0 (последнее видно, например, из того, что где обозначает число, сопряженное с). По доказанному имеем в точках дифферуемциемоcти:

Итак, в точках дифференцируемости (26) где

Правая часть формулы (26) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2р.

Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым периодом. (Романовский стр.33) Пусть ѓ(x) функция с периодом 2l, удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка x= lt/ р приводит нас к функции ѓ(lt/ р) с периодом 2р. В силу предыдущего пункта в точках дифференцируемости имеем:

Переходя как в ряде, так и формулах для коэффициентов к старому переменному х и замечая, что t = р x / l, dt=(р / l)dx, получим в точках дифференцируемости: (27) где Правая часть формулы (27), где коэффициенты определяются равенствами (28), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2l. Основные типы уравнений математической физики. Основными уравнениями математической физики называют (для случая функций двух независимых переменных) следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. 1. Волновое уравнение:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. 2. Уравнение теплопроводности или уравнение Фурье:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде (например, фильтрации нефти и газа с подземных песчаниках), некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. 3. Уравнение Лапласа:

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа. В уравнениях (29), (30) и (31) искомая функция u зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функций с большим числом переменных. Так, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид:

уравнение теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид:

уравнение Лапласа с тремя неизвестными переменными имеет вид:

Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах. В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к её профилю. Пусть струна длины l в начальный момент напрвлена по отрезку оси Ох от 0 до l. Предположим,
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

 что концы струны закреплены в точках х = 0 и х = l. Если струну отклонить от её первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, предать в начальный момент её точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать её точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения говорят, что струны начнет колебаться. Задача заключается в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ох и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u (x, t), которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой х в момент времени t.

(Н.С. Пискунов стр. 245, рис. 371) Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x, u ), то будем предполагать, что длина элемента струны М1М2 равняется её проекции на ось Ох, т. е. М1М2 = х2 х1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т. Рассмотрим элемент струны ММ?. На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. (Н.С. Пискунов стр. 246, рис. 372)

Пусть касательные образуют с осью Ох углы ц и ц + ?ц. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент ММ?, будет равна T· sin (ц + ?ц) sin ц . Так как угол ц мал, то можно положить tg ц ? sin ц, мы будем иметь: T sin (ц + ?ц) T sin ц ? T tg (ц + ?ц) T tg ц =

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящего в квадратных скобках). Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть с линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет с ?х. Ускорение элемента равно ?2u / ?t2. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

Сокращая на ?х и обозначая a2 = T/ с, получаем уравнение движения

Это и есть волновое уравнение уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (35) недостаточно. Искомая функция u(x, t) должна удовлетворять ещё граничным условиям, указывающих, что делается на концах струны (х = 0 и х = ?), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при х = 0 и х = ? неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства: u (0, t) = 0, (36) u (?, t) = 0. (36,) Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи. В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией ѓ(x). Таким образом, должно быть u (x, 0) = u |t = 0 = ѓ(x). (37) Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией ц(х):

Условия (101,) и (101, ,) являются начальными условиями. Замечание. В частности, может быть, ѓ(x) = 0 или ц(x) ? 0. Если же ѓ(x) = 0 и ц(x) ? 0, то струна будет находиться в покое, следовательно, u (x, t) ? 0. Как указывалось выше, к уравнению (30) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Покажем это. Электрический ток в проводе характеризуется величиной Я(x, t) и напряжением х(x, t), которые зависят от координаты х точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода ?х, можем написать, что падение напряжения на элементе

скачать реферат

---

1 2 3 4 5 6 7