Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Исследование движений плоскости и некоторых их свойств

скачать реферат

достаточно продолжить отрезок XO за точку O на отрезок OX=OX. Точки X и X в этом случае называют симметричными относительно точки O, а само преобразование центральная симметрия с центром в точке O ( уО ) . Т.к. симметричность точек X и X относительно некоторой точки O взаимна, то и симметричность фигур относительно точки взаимна. А именно, если фигура F перешла при симметрии с центром O в фигуру F, то и F при этой симметрии перешла в F. В частности, фигура F может быть симметрична сама себе относительно точки O. Тогда говорят, что фигура F симметрична относительно точки O, и что точка O является центром симметрии фигуры F. Например, центр круга это его центр симметрии, точка пересечения диагоналей параллелограмма его центр симметрии. Другой частный случай поворота тождественное отображение (е). Ясно, что тождественное отображение можно рассматривать как поворот вокруг произвольной точки на угол 0о или на угол 360о.

4.3. Симметрия относительно прямой.

Пусть l фиксированная прямая. Возьмём произвольную точку X и опустим перпендикуляр АХ на прямую l. На продолжении перпендикуляра за точку А отложим отрезок AX, равный отрезку АХ. Точка X называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой l, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X, есть точка X. Определение. Преобразование у фигуры F в фигуру F, при котором каждая её точка X переходит в точку X, симметричную относительно данной прямой l, называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и F называются симметричными относительно прямой l. Обозначение: уl

Если преобразование симметрии относительно прямой l переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой l, а прямая l называется осью симметрии фигуры. Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются осями симметрии ромба. Симметрию относительно прямой часто также называют отражением в прямой, осевой или зеркальной симметрией.

Теорема 4.3.1. Преобразование симметрии относительно прямой является движением. Доказательство. Примем данную прямую у за ось декартовой системы координат (рис.6). Пусть произвольная точка А(x; y) фигуры F переходит в точку А(x; y) фигуры F. Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек А и А равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x=- x. Далее возьмём две произвольные точки А(x1; y1) и B(x2; y2). Они перейдут в точки А(-x1; y1 ) и B(-x2; y2). Имеем: АB2 =(x2 - x1)2 +(у2 - у1)2 ; АB2 =(- x2 + x1)2 +(у2 - у1)2. Отсюда видно, что АB=АB. А это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение, что и требовалось доказать.

Рис.6

Теорема 4.3.2. Движение ц является осевой симметрией с осью l тогда и только тогда, когда множество всех его неподвижных точек совпадает с l. Доказательство. Пусть ц = уl. Из определения осевой симметрии сразу следует, что l множество её неподвижных точек. Проверим обратное утверждение: пусть прямая l множество неподвижных точек движения ц. Образ произвольной точки Х при движении ц: Х= ц(Х). Если Х є l, то Х= Х. Если же Х l, то точка Х не является неподвижной, поэтому Х? Х. Т.к. Х= ц(Х), прямая l равноудалена от точек Хи Х, т.е. является серединным перпендикуляром к отрезку ХХ.
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Таким образом, для любой точки Х выполнено равенство: ц(Х) = уl(Х), т.е. ц = уl.

4.4. Скользящая симметрия.

Заметим, что выделение скользящей симметрии в отдельный вид движения не совсем корректно, т.к. она является результатом последовательного выполнения осевой симметрии и параллельного переноса. Однако её свойства представляют определённый интерес. Определение. Композиция движений ф ? уl, где уl симметрия относительно прямой l, а ф параллельный перенос вдоль прямой l, не являющийся тождественным отображением, называется скользящей симметрией с осью l. Скользящая симметрия с осью l обладает двумя свойствами, которые её полностью характеризуют: - она не имеет неподвижных точек; - прямая l является её неподвижной прямой.

Теорема. Движение ц является скользящей симметрией с осью l тогда и только тогда, когда оно не имеет неподвижных точек, и l его единственная неподвижная прямая. Доказательство. Пусть ц имеет единственную неподвижную прямую l и не имеет неподвижных точек. Возьмём на прямой l произвольную точку A и рассмотрим точки B= ц(A), C= ц(B). Ясно, что B, C l. Кроме того, CA ( в противном случае середина сегмента AB была бы неподвижной точкой движения ц). Отсюда следует, что B середина сегмента AC. Поэтому ф> (B) = A, а ф> (C) = B. BA BA Используя эти равенства, легко проверить, что точки A, B являются неподвижными точками композиции ф> ? ц. Поэтому множество всех неподвижных точек движения ф> ? ц BA BA содержит прямую (AB) = l.

Но тогда ф> ? ц есть либо тождественное отображение, либо зеркальная симметрия уl. BA Равенство ф> ? ц = е невозможно, ибо из него следует ц = ф> . Но ц имеет неподвижную BA BA прямую, а параллельный перенос бесконечно много таких прямых. Таким образом, ф> ? ц = уl , откуда ц = ф> ? уl . BA BA

5. Исследование особых свойств осевой симметрии.

Осевая симметрия занимает особое место среди движений с её помощью можно получить все известные нам движения. Чтобы выяснить, какое движение получается в результате композиции двух осевых симметрий с различными осями l и m, необходимо исследовать два возможных случая: 1) прямые l и m параллельны; 2) прямые l и m пересекаются.

Исследование 5.1. Пусть d расстояние между параллельными прямыми l и m. Введём систему координат так, чтобы ось Оx совпала с прямой l, а прямая m имела уравнение y = d (рис.7). Рассмотрим произвольную точку М(x; y). При симметрии относительно прямой l точка М перейдёт в точку N(x; -y). Точка N, в свою очередь, при симметрии относительно прямой m перейдёт в точку М1, что прямая m окажется серединным перпендикуляром к отрезку NМ1. Следовательно, середина отрезка NМ1 должна иметь координаты (x; d), а значит, сама точка М1 - координаты (x; y+2d).

Рис.7

Итак, произвольная точка М(x; y) перешла в точку М1(x; y+2d), т.е. в такую точку М1, > > что ММ1 = а{0; 2d}. Это означает, что результатом композиции двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельный перенос на вектор, перпендикулярный к этим осям, длина которого равна удвоенному расстоянию между осями.

Очевидно, что частным случаем композиции двух осевых симметрий с параллельными осями, когда оси совпадают, является тождественное отображение (е).

Исследование 5.2. Пусть О точка пересечения прямых l и m. Выберем на этих прямых точки А и В так, чтобы угол не был тупым (рис.8). Поскольку при каждой из симметрий точка О остаётся на месте (является

скачать реферат

1 2 3 4 5 6 7 ... последняя

Рефераты / Математика /

реферат на тему: Исследование движений плоскости и некоторых их свойств

Обратная связь.