Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Исследование движений плоскости и некоторых их свойств

скачать реферат

неподвижной), то она остаётся неподвижной и в результате композиции этих симметрий.

Рис.8

Возьмём теперь произвольную точку М, отличную от О. Допустим, что она лежит внутри угла АОВ (остальные случаи рассматриваются аналогично). При симметрии относительно прямой l точка М перейдёт в такую точку N, что ОN = ОМ и LАОN=LАОМ. Точка N, в свою очередь, при симметрии относительно прямой l перейдёт в такую точку М1, что ОМ1=ОN и LВОМ1=LВОN=LАОВ+LАОN=LАОВ+LАОМ . Поэтому LАОМ1=LВО М1 +LАОВ=2LАОВ+LАОN .+LАОМ, а значит, LМ1ОМ=2LАОВ. Итак, точка О осталась на месте, а произвольная точка М перешла в такую точку М1, что ОМ1=ОМ и LМ1ОМ=2LАОВ. Кроме того, направление поворота вокруг точки О от ОМ к ОМ1 такое же, как от ОА к ОВ (на рис. против часовой стрелки). Это означает, что результатом композиции двух осевых симметрий с пересекающимися осями является поворот вокруг точки пересечения осей на угол, вдвое больший угла между осями.

Очевидно, что частным случаем композиции двух осевых симметрий с пересекающимися в точке О под углом 90о осями является поворот на 180о, т.е. центральная симметрия с центром в точке O.

Из рассмотренных случаев вытекает важное свойство осевой симметрии: осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию. Поскольку и поворот, и параллельный перенос представляют собой результат композиции двух осевых симметрий, то каждое из этих движений сохраняет не только величину угла, но и его ориентацию.

6. Исследование возможности существования других видов движений.

В п.4 данного реферата были рассмотрены три вида движений: параллельный перенос, поворот и осевая симметрия (скользящая симметрия не включена в этот список, поскольку представляет собой композицию движений; также напомним, что центральная симметрия и тождественное отображение являются частными случаями основных движений). Возникает вопрос: а существуют ли какие-то другие движения, отличные от перечисленных? Важной характеристикой движения плоскости является множество его неподвижных точек. Оно устроено просто, и могут представиться лишь следующие четыре возможных случая: 1) движение оставляет неподвижными три точки плоскости; 2) движение оставляет неподвижными две точки плоскости; 3) движение оставляет неподвижной одну точку плоскости; 4) у движения неподвижных точек нет. Попробуем решить поставленный вопрос при помощи исследований каждого из этих случаев отдельно.

Исследование 6.1. Пусть при некотором движении ц остались неподвижными три точки плоскости - А, В, С, не лежащие на одной прямой. Попытаемся определить вид движения ц. В результате движения ц произвольная точка плоскости М переходит в точку М1. По определению движения М1А=МА (рис.9).

Рис.9

Если точки М1 и М различные, то точка А лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1. Аналогично точки В и С лежат на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1. Но по условию точки А, В, С, не лежат на одной прямой. Следовательно, точки М1 и М не могут быть различными, а значит, они совпадают. Таким образом, рассматриваемое движение переводит каждую точку плоскости в себя, т.е. является тождественным отображением. Вывод: если движение ц оставляет неподвижным три неколлинеарные точки плоскости, то это движение тождественное отображение (ц = е).

Исследование 6.2. Пусть при некотором движении ц остались неподвижными две точки плоскости - А и В. Попытаемся определить вид движения ц. В результате
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

движения ц произвольная точка М, не лежащая на прямой АВ, переходит в точку М1 (рис.10). Рис.10

Если точки М и М1 совпадают, то ц = е, поскольку оно оставляет неподвижными три неколлинеарные точки (А, В и М). Если же точки М и М1 различные, то из равенств АМ=АМ1 и ВМ=ВМ1 следует, что прямая АВ является серединным перпендикуляром к отрезку ММ1. Иными словами, точки М и М1 симметричны относительно прямой АВ, все точки которой, как несложно заметить, остаются неподвижными. Таким образом, рассматриваемое движение переводит каждую точку плоскости в точку, симметричную ей относительно прямой АВ, а значит движение ц является осевой симметрией. Вывод: если движение ц ? е и оставляет неподвижным две точки плоскости, то это движение осевая симметрия ( ц = уl ) .

Исследование 6.3. Пусть при некотором движении ц осталась неподвижной лишь одна точка плоскости точка О. Попытаемся определить вид движения ц. В результате движения ц произвольная точка М, отличная от точки О, переходит в точку М1 (рис.11). Поскольку ОМ=ОМ1, то точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ММ1. Рассмотрим симметрию, осью которой является этот серединный перпендикуляр. При этой симметрии точка О останется неподвижной, а точка М перейдёт в точку М1.

Рис.11

Теперь представим, что движение ц выполнялось в два этапа: сначала было выполнено какое-то неизвестное движение, а затем указанная осевая симметрия. Нетрудно видеть, что неизвестное движение представляет собой композицию исходного движения ц и указанной осевой симметрии. Это неизвестное движение должно оставлять точки О и М неподвижными. Тогда в результате осевой симметрии они перейдут в О и М1. Таким образом, оно может быть либо тождественным отображением, либо осевой симметрией с осью ОМ. Но тождественным отображением оно быть не может, иначе исходное движение было бы осевой симметрией и, соответственно, оставляло бы неподвижными все точки оси, что противоречит условию. Следовательно, оно осевая симметрия с осью ОМ. Но тогда исходное движение состоит из композиции двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в точке О, а значит, является поворотом вокруг точки О. Вывод: если движение ц оставляет неподвижным только одну точку, то это движение поворот вокруг неподвижной точки ( ц = сбО ).

Исследование 6.4. Пусть при некотором движении ц не осталось ни одной неподвижной точки. Попытаемся определить вид движения ц. В результате движения ц произвольная точка М переходит в точку М1 . Теперь представим, что движение ц выполнялось в два этапа: сначала было выполнено какое-то неизвестное движение, а затем осевая симметрия, осью которой является серединный перпендикуляр к отрезку ММ1 (рис.12). Поскольку при этой симметрии точка М переходит в М1, то неизвестное движение должно оставлять точку М неподвижной. Таким образом, оно может быть либо тождественным отображением, либо осевой симметрией, либо поворотом вокруг точки М. Но тождественным отображением оно быть не может, иначе исходное движение было бы осевой симметрией, что противоречит условию.

Рис.12

Осевой симметрией оно может быть только в том случае, когда её ось параллельна серединному перпендикуляру к отрезку ММ1 (иначе всё движение представляло бы собой композицию двух осевых симметрий с пересекающимися осями, т.е. поворот а это вновь противоречит условию). В этом случае всё движение представляет собой параллельный перенос. Остаётся проверить, было ли неизвестное

скачать реферат

первая ... 2 3 4 5 6 7 8

Рефераты / Математика /

реферат на тему: Исследование движений плоскости и некоторых их свойств

Обратная связь.