Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Матожидание, дисперсия, мода и медианаМатематическое ожидание и его свойства.
Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин , которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если одно из возможных значений системы , то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция , определенная при любых возможных значениях случайных величин , называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из . В частности, совместный закон распределения случайных величин и , которые принимают значения из множества и , задается вероятностями . Расширим понятие независимости случайных событий и введем понятие независимых случайных величин.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. .
Доказательство. Постоянную можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение с вероятностью 1. .
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: .
Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:
. . .. . .. . .. . .Очевидно, что случайная величина также является дискретной и принимает значения , , ... , , ... с прежними вероятностями , , ... , , ... т.е. закон распределения имеет вид
. . .. . .. . .. . .Тогда по определению математического ожидания .
3) Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.
Доказательство. Рассмотрим случайную величину и докажем, что
Действительно, если и заданы рядами распределения
. . .. . .. . .. . то, как было указано выше, случайная величина имеет следующий закон распределения:
. . .. . .Тогда
.
Методом математической индукции можно доказать, что если это свойство выполняется для случайных величин, то оно выполняется и для случайных величин.
4) Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: .
Доказательство. Пусть заданы две случайные величины и рядами распределения (см. предыдущее свойство).
В силу вышесказанного возможные значения случайной величины будут , , , , ... Их вероятности , , , ... , т.к. они определяются по теореме умножения вероятностей. Т.к. вероятность обозначает вероятность того, что события и наступают совместно, т.е. .
Переходя к математическом ожиданию рассматриваемой суммы, имеем . 3. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: . Доказательство. Вначале докажем свойство для двух величин и . По теореме И далее методом математической индукции... Следствие 1. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной величины равна дисперсии случайной величины : . Действительно, . Следствие 2. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Доказательство. Используя свойства 2) и 3), получаем . Дисперсия случайной величины как характеристика разброса имеет одну неудобную особенность: ее размерность (из определения) равна квадрату размерности случайной величины . Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е. . Зная введенные две числовые характеристики математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение , получаем ориентировочное представление о пределах возможных значений случайной величины. Мода и медиана как разновидность средних величин в вариационных рядах Средние величины являются своего рода отвлеченной, абстрактной величиной. Отвлекаясь от конкретных величин каждого варианта, эти числа отражают то общее, что присуще всей совокупности единиц. При этом может случиться, что величина средней не имеет равенства ни с одним из конкретных вариантов встречающихся в рассматриваемой совокупности вариантов. Например, среднее число членов семьи, равное 3,84, полученное на основе исчисления соответствующей совокупности данных, ничего общего с конкретным составом семьи не имеет, поскольку дробного числа членов семьи не может быть. Здесь в данном показателе средней величины состава семьи выражается некоторое центральное значение, около которого группируются реально существующие варианты. Кроме рассмотренных средних, когда определяется некая абстрактная величина, могут быть использованы величины конкретных вариантов имеющихся в рассматриваемой совокупности величин, величин занимающих определенное место в ранжированном ряду индивидуальных значений признака. Ранжировка признаков может быть построена в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака. Такими величинами, чаще всего являются мода и медиана. Мода - это наиболее часто встречающаяся в совокупности величина варианта. Эту величину означают символом Мо. Мода как величина в дискритном (прерывистом) ряду определяется следующим образом на примере выявления наибольшего процента мужчин носящих определенный размер обуви. Наглядно это можно представить следующей таблицей. Распределение числа мужчин по размеру используемой обуви Размер обувиЧисло мужчин старше 16 лет % к итогуНакопление частностиДо 3711385639121840234141286942219043898442100и более-Всего100В распределении мужчин по размеру обуви наибольшая часть мужчин (28%) относится к величине номера обуви в 41. Следовательно, мода Мо скачать реферат 1 2 Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |