Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

скачать реферат

Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости. Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) , задано некоторое распределение с функцией распределения и произвольная с.в., имеющая распределение . Определение. Говорят, что последовательность с.в. при сходится слабо или по распределению к с.в. и пишут: , или , или , если для любого такого, что функция распределения непрерывна в точке , имеет место сходимость при . Иначе говоря, слабая сходимость это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения. Свойство 1. Если , и функция распределения непрерывна в точках и , то ит.д. (продолжить ряд). Наоборот, если во всех точках и непрерывности функции распределения имеет место, например, сходимость , то . Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями. Свойство 2. 1. Если , то . 2. Если , то . Свойство 3. 1. Если и , то . 2. Если и , то . Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам центральная предельная теорема. Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е. для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. Центральная предельная теорема. Пусть независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: . Обозначим через сумму первых случайных величин: . Тогда последовательность случайных величин слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Доказательство. Пусть последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через математическое ожидание и через дисперсию . Требуется доказать, что

Введем стандартизированные случайные величины независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть есть их сумма . Требуется доказать, что

Характеристическая функция величины равна

Характеристическую функцию с.в. можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты , . Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство и устремим к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости :

распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ. Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция распределения любого нормального закона непрерывна всюду на , утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов: Следствие. Пусть независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и равносильны утверждению ЦПТ. · Для любых вещественных при имеет место сходимость

· Для любых вещественных при имеет место сходимость

· Для любых вещественных при имеет место сходимость

· Если произвольная с. в.
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




со стандартным нормальным распределением, то

Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа. Предельная теорема Муавра Лапласа. Пусть событие, которое может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью . Пусть число осуществлений события в испытаниях. Тогда . Иначе говоря, для любых вещественных при имеет место сходимость

Доказательство. По-прежнему есть сумма независимых, одинаково распределенных с.в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха :

Осталось воспользоваться ЦПТ. Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ. Пример 1. Задача. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую. Решение. Требуется найти , где , число выпадений герба, а независимые с.в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на и поделим на корень из дисперсии одного слагаемого.

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра Лапласа, последовательность

слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную с.в. , имеющую распределение .

Пример 2. Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в страховом деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь (размеров отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет существенной роли, поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику (величина суммарного иска), обычно зависит только от средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что если количество страховых случаев значительно превышает единицу, то в силу центральной предельной теоремы распределение суммарного иска является нормальным распределением. Обозначив его дисперсию как DZ, а математическое ожидание (среднее значение суммарного иска) как = - где , - среднее значение числа страховых случаев и величины страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr: Тr = [(Т0)/()](DQ + 2DN) 0.5 - где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и количества страховых случаев. В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их дисперсия равна нулю), имеем: Тr = (Т0)/N0.5 Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации уровня страховых выплат значительно меньше единицы. При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная величина всех рисковых надбавок.

скачать реферат
1

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы