 |
 |
 |
 |
 |
 |
Диссертации на заказ
дипломы на заказ
рефераты на заказ
Форум
Наш партнёр:
ChangePoint.Ru -
Обмен WebMoney в Израиле
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ
скачать реферат
x2 x2 z2 y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z x y y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- >0
x z y2
2) f(x,y,z) имеет минимум, если
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------->0 , -------------------------------- - --------------- >0
x2 x2 y2 x y
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z x y y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- >0
x z y2
3)если
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- --------------------------------- +
x z y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
+ --------------- -------------------------------- --
x z x y y z
2 f(x0,y0,z0) 2 f(x0,y0,z0)
-- ------------------------------- =0
x z y2
то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )
4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума.
5.Экстремумы функций многих переменных.
5.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция u=f(x1,x2,…,xn) определена в области D и (x10,x20,…,xn0) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция u=f(x1,x2,…,xn) в точке (x10,x20,…,xn0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x10 x10 x20 x20 xn0 xn0 )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x1,x2,…,xn)
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ
то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности(x10- , x10+ ) точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство
f(x1, x20,…,xn0)< f(x10,x20,…,xn0)
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx1(x10,x20,…,xn0)=0
Таким образом можно показать, что в точке (x10,x20,…,xn0)
и остальные частные производные равны нулю.
Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx1(x10,x20,…,xn0)=0
……………………. (5.1)
f xn(x10,x20,…,xn0)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так :
d f(x1,x2,…,xn)=0
так как, если fx1= fx2=…= f xn , то каковы бы ни были dx1,dx2,…,dxn всегда
f(x1,x2 d,…,xn)= fx1 dx1+ fx2 dx2+…+ f xn dxn=0
И обратно : если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx1,dx2,…,dxn производные fx1, fx2,…, f xn порознь равны нулю.
Обычно, рассматриваемая функция f(x1,x2,…,xn) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» по экстремуму, наряду со стационарными.
Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.
Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности графика функции).
5.2.Достаточные условия экстремума.
Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.
Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.
Пусть функция f(x1,x2,…,xn) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядковокрестности некоторой стационарной точки (x10,x20,…,xn0).Разлагая разность
= f(x1,x2,…,xn)-f(x10,x20,…,xn0)
по формyле Тейлора, получим
= { fx x12+fx x22+…+fx xn2+2fx1x2 x1 x2+ +2fx1x3 x1 x3+…+2fxn-1xn xn-1 xn}= fxixj xi xj
где x= xi-xi0 ; производные все вычеслены в некоторой точке
(x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn) (0<0<1)
Введём и здесь значения
fxixj (x10,x20,…,xn0)=aik (i,k=1,2,…,n) (5.2)
так что
fxixj (x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn)= aik+ ik
и
ik 0 при x1 0,…, xn 0 (5.3)
Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:
= { aik xi xk+ ik xi xk} (5.4)
На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных
скачать реферат
1 2 3 4 5 6 7 ... последняя
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ
Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!