Рефераты / Математика /

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Интеграл Пуассона.

Пусть x , g(x) , xR1 суммируемые на -, , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку fg(x) =dt Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и cn ( fg ) = cn ( f ) cn ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )

где cn ( f ) -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) : cn = -i n tdt , n = 0, Пусть L1 (-) . Рассмотрим при r функцию r ( x ) = n ( f ) rn ei n x , x , ( 2 ) где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , r . Коэффициенты Фурье функции r х равны cn ( fr ) = cn r n , n = 0 , , а это согласно (1) значит, что r x можно представить в виде свертки : r ( x ) = , ( 3 ) где , t ( 4 ) Функция двух переменных Рr (t) , 0 r , t , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно, Pr ( t ) = , 0r , t . ( 5 ) Если L ( - ) действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = cn( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) =

= , ( 6 ) где F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 ) - аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции L1( -, ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = r (eix ) , z = reix , 0 r 1 , x [ -, ] . При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой v (z) = Im F (z) = . ( 8 ) Утверждение1. Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге z функция и (x) = u (eix) , x, . Тогда u (z) = ( z = reix , z ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция: =, z + . Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) ; б) ; в) для любого >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) х . Теорема 1. Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -, ) , 1 p < , имеет место равенство ; если же (x) непрерывна на [ -, ] и (-) = () , то .

Доказательство. В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона ( 12 ) Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

. Следовательно, . Для данного найдем = () такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку . Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства . Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы. Определение1. Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х. Определение 2. Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0 .

Теорема 2 (Фату). Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда для п.в. . Доказательство. Покажем, что для и , ( 13 ) где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа). Пусть - такое число, что . Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ