В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктив-ный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом кото-рого является общий результат, а заключительным мо-ментом частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.
Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логи-ческого мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.
Хотя и выросла область применения метода матема-тической индукции, в школьной программе ему отводит-ся мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в резуль-тате получит пятёрку за то, что он ничего не знает.
А ведь это так важно - уметь размышлять индуктив-но.
Содержание
Вступление_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2
Основная часть
Полная и неполная индукция_ _ _ _ _ _3-4
Принцип математической индукции_ _4-5
Метод математической индукции_ _ _ 6
По своему первоначальному смыслу слово “индукция” применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опи-раясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является пол-ная индукция. Вот пример подобного рассужде-ния.
Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4< n < 20
представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:
4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;
14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.
Эти девять равенств показывают, что каждое
из интересующих нас чисел действительно пред-
ставляется в виде суммы двух простых слагаемых.
Таким образом, полная индукция заключает-
ся в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возмож-
ных случаев.
Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большо-
го числа частных случаев (так называемая непол-
ная индукция).
Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не до-
казан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными сло-
вами, неполная индукция в математике не счита-
ется законным методом строгого доказательства,
но является мощным методом открытия новых ис-тин.
Пусть, например, требуется найти сумму пер-
вых n последовательных нечётных чисел. Рас-
смотрим частные случаи:
1=1=12
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:
1+3+5+…+(2n-1)=n2
т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n2
Разумеется, сделанное наблюдение ещё не мо-
жет служить доказательством справедливости при-
ведённой формулы.
Полная индукция имеет в математике лишь ог-
раниченное применение. Многие интересные мате-
матические утверждения охватывают бесконечное число частных
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ
случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибоч-
ным результатам.
Во многих случаях выход из такого рода за-
труднений заключается в обращении к особому ме-
тоду рассуждений, называемому методом матема-
тической индукции. Он заключается в следующем.
Пусть нужно доказать справедливость некото-
рого утверждения для любого натурального числа
n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n2). Непосредственная про-верка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утвержде-ние, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натураль-ном значении k из справедливости рассматрива-емого утверждения при n=k вытекает его справед-ливость и при n=k+1.
Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следую-щего числа n=1+1=2. Из справедливости утвержде-ния для n=2 вытекает его справедливость для n=2+
+1=3. Отсюда следует справедливость утвержде-ния для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n.
Обобщая сказанное, сформулируем следую-щий общий принцип.
Принцип математической индукции.
Если предложение А(n), зависящее от натураль-ного числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любо-го натурального числа n.
В ряде случаев бывает нужно доказать спра-ведливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p-фикси-
рованное натуральное число. В этом случае прин-цип математической индукции формулируется сле-дующим образом.
Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k)А(k+1) для любого k>p, то предложе-ние А(n) истинно для любого n>p.
Доказательство по методу математической ин-дукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, на-зываемая индукционным шагом. В этой части до-казывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)A(k+1).
ПРИМЕР 1
Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2.
Решение: 1) Имеем n=1=12. Следовательно,
утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно.
2) Докажем, что А(k)A(k+1).
Пусть k-любое натуральное число и пусть утверж-дение справедливо для n=k, т.е.
1+3+5+…+(2k-1)=k2.
Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2.
В самом деле,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2.
Итак, А(k)А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предпо-ложение А(n) истинно для любого nN.
ПРИМЕР 2
Доказать, что
1+х+х2+х3+…+хn=(хn+1-1)/(х-1), где х1
Решение: 1) При n=1 получаем
1+х=(х2-1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1
следовательно, при n=1 формула верна; А(1) ис-тинно.
2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.
1+х+х2+х3+…+хk=(хk+1-1)/(х-1).
Докажем, что тогда выполняется равенство
1+х+х2+х3+…+хk+xk+1=(xk+2-1)/(х-1).
В самом деле
1+х+х2+x3+…+хk+xk+1=(1+x+x2+x3+…+xk)+xk+1=
=(xk+
скачать реферат123
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.