Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Метод математической индукции

скачать реферат

Вступление

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктив-ный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом кото-рого является общий результат, а заключительным мо-ментом частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному. Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логи-ческого мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно. Хотя и выросла область применения метода матема-тической индукции, в школьной программе ему отводит-ся мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в резуль-тате получит пятёрку за то, что он ничего не знает. А ведь это так важно - уметь размышлять индуктив-но.

Содержание

Вступление_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2

Основная часть Полная и неполная индукция_ _ _ _ _ _3-4 Принцип математической индукции_ _4-5 Метод математической индукции_ _ _ 6

Решение примеров Равенства_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _7-12 Деление чисел_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _12-16 Неравенства_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16-19

Заключение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 20 Список использованной литературы_ _21

По своему первоначальному смыслу слово “индукция” применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опи-раясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является пол-ная индукция. Вот пример подобного рассужде-ния. Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7. Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно пред- ставляется в виде суммы двух простых слагаемых. Таким образом, полная индукция заключает- ся в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возмож- ных случаев. Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большо- го числа частных случаев (так называемая непол- ная индукция). Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не до- казан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными сло- вами, неполная индукция в математике не счита- ется законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых ис-тин. Пусть, например, требуется найти сумму пер- вых n последовательных нечётных чисел. Рас- смотрим частные случаи: 1=1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод: 1+3+5+…+(2n-1)=n2 т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n2 Разумеется, сделанное наблюдение ещё не мо- жет служить доказательством справедливости при- ведённой формулы. Полная индукция имеет в математике лишь ог- раниченное применение. Многие интересные мате- матические утверждения охватывают бесконечное число частных
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибоч- ным результатам. Во многих случаях выход из такого рода за- труднений заключается в обращении к особому ме- тоду рассуждений, называемому методом матема- тической индукции. Он заключается в следующем. Пусть нужно доказать справедливость некото- рого утверждения для любого натурального числа n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n2). Непосредственная про-верка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утвержде-ние, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натураль-ном значении k из справедливости рассматрива-емого утверждения при n=k вытекает его справед-ливость и при n=k+1. Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следую-щего числа n=1+1=2. Из справедливости утвержде-ния для n=2 вытекает его справедливость для n=2+ +1=3. Отсюда следует справедливость утвержде-ния для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n. Обобщая сказанное, сформулируем следую-щий общий принцип. Принцип математической индукции. Если предложение А(n), зависящее от натураль-ного числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любо-го натурального числа n. В ряде случаев бывает нужно доказать спра-ведливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p-фикси- рованное натуральное число. В этом случае прин-цип математической индукции формулируется сле-дующим образом. Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k)А(k+1) для любого k>p, то предложе-ние А(n) истинно для любого n>p. Доказательство по методу математической ин-дукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, на-зываемая индукционным шагом. В этой части до-казывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)A(k+1).

ПРИМЕР 1

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n2. Решение: 1) Имеем n=1=12. Следовательно, утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно. 2) Докажем, что А(k)A(k+1). Пусть k-любое натуральное число и пусть утверж-дение справедливо для n=k, т.е. 1+3+5+…+(2k-1)=k2. Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2. В самом деле, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2. Итак, А(k)А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предпо-ложение А(n) истинно для любого nN.

ПРИМЕР 2

Доказать, что 1+х+х2+х3+…+хn=(хn+1-1)/(х-1), где х1 Решение: 1) При n=1 получаем 1+х=(х2-1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1 следовательно, при n=1 формула верна; А(1) ис-тинно. 2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е. 1+х+х2+х3+…+хk=(хk+1-1)/(х-1). Докажем, что тогда выполняется равенство 1+х+х2+х3+…+хk+xk+1=(xk+2-1)/(х-1). В самом деле 1+х+х2+x3+…+хk+xk+1=(1+x+x2+x3+…+xk)+xk+1= =(xk+

скачать реферат
1 2 3

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы