Рефераты / Математика /

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Факультет компьютерных сетей и систем

Кафедра Информатики

Курсовой проект По курсу: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Тема: “ Исследование систем линейных уравнений неполного ранга и минимальным по Евклидовой норме решением”

Выполнил: Студент гр. 952 001 Лабкович О. А.

Проверил Борзенков А. В.

Минск 2000 Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными общего вида (СЛАУ) в матричной форме:

A*X = B где

A основная матрица системы (или матрица коэффициентов при неизвестных) X вектор-столбец решений системы (вектор неизвестных) B вектор свободных коэффициентов

Решением системы такого вида называется всякий n компонентный вектор-столбец X, обращающий матричное уравнение в тождество (равенство). Найдём решение с помощью метода последовательных исключений Жордана-Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных. Дополнительно выделим из множества решений вектор-решения минимальный по Евклидовой норме.

В MatLab стандартная функция rref(A), …/matlab/toolbox/matlab/matfun/rref.m, приводит матрицу A к треугольному виду на основе классического метода исключения Гаусса с частичным выбором ведущего элемента. В данной функции реализуется следующий код: который, не меняя местами столбцы матрицы системы, приводит матрицу к диагональному виду, работая только со строками(таким образом, использование этой функции не приведетк ошибкам).

% Loop over the entire matrix. % ??????? ??????? ???????? ??????? i = 1; j = 1; jb = []; while (i <= m) & (j <= n) % Find value and index of largest element in the remainder of column j. % ????? ???????? ? ?????? ?????? ???????? ???????? ? ??????? ?? ??????? j. [p,k] = max(abs(A(i:m,j))); k = k+i-1; if (p <= tol) % The column is negligible, zero it out. % ???? ??????? ??????? ????????????, ?? ????????? ??????? ? ??????? ?? ????????? ?????????. A(i:m,j) = zeros(m-i+1,1); j = j + 1; else % Remember column index % ??????????? ??????? ??????? jb = [jb j]; % Swap i-th and k-th rows. % ????????? ??????? i-?? ? j-?? ??????. A([i k],j:n) = A([k i],j:n); % Divide the pivot row by the pivot element. % ??????? ????????? ??????? ?????? ?? ??????? ??????? A(i,j:n) = A(i,j:n)/A(i,j); % Subtract multiples of the pivot row from all the other rows. % Вычесть элементы текущей строки из всех других строк, начиная с j-го элемента. for k = [1:i-1 i+1:m] A(k,j:n) = A(k,j:n) - A(k,j)*A(i,j:n); end i = i + 1; j = j + 1; end end

Для этого, с помощью элементарных преобразований над строками и перестановки столбцов расширенную матрицу системы A|B (матрица, образованная добавлением столбца свободных коэффициентов B к основной матрице системы A) приведём к виду:

Необходимо отметить, что коэффициенты и полученной матрицы, отличаются от исходных коэффициентов расширенной матрицы. То есть получены новые основная матрица системы и вектор-столбец свободных коэффициентов . Перемножив каждую строку матрицы на вектор X получим:

Тогда вектор-решения состоит из следующих компонент

, где k = 1..m Заменим на коэффициенты , j = 1 .. n-m. Общее решение СЛАУ имеет вид

Подставляя различные числовые значения вместо можно получить бесконечное множество частных решений.

Теперь из множества полученных решений необходимо выделить минимальное
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ