Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Примеры разностных аппроксимаций1. Примеры разностных аппроксимаций. Пусть (x) достаточно гладкая функция и (xi) ее значение в точке xi сетки h = {xi = ih, i = 0, 1, …,N, hN = l} (7) Говорят, что разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=xi, если разность Lhi Lh(xi) стремится к нулю при h0. В этом случае говорят также, что разностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1). Чтобы установить наличие аппроксимации, достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=xi значения i1 = (xi h), входящие в разностное выражение Lhi. Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе, где показано, что при условиях (8) выполняется соотношение Если кроме того, докажем, что di = q(xi) + O(h2), i = f(xi) + O(h2) (9) то тем самым будет установлено, что оператор Lh аппроксимирует L со вторым порядком по h, т.е. Lhi L(xi) = O(h2), i = 1, 2,…, N1 (10) Итак, доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Проверим сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k-1(x), получим следовательно, Аналогично Отсюда получим т.е. условия (8) выполнены. Условия (9) выполнены в силу того, что замена интегралов (6) значениями qi, fi соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования. 2.2. Аппроксимация граничного условия. Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим lh(0) = a1x, 0 + 0. Если (x) произвольная достаточно гладкая функция, то очевидно lh(0) = k(0) (0) + (0) + O(h), т.е. имеет место аппроксимация первого порядка по h. Однако если =u(x) решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации, т.е. Докажем последнее утверждение. Используя разложение ux, 0 = (u1 u0)/h = u(x1/2) + O(h2), x1/2 = 0,5h, a1 = k1/2 + O(h2) получим Отсюда имеем Учитывая граничное условие (2), получаем lhu(0) = 0,5h [ (ku)(0) + d0u0 0] + O(h2). Выражение, стоящее в квадратных скобках, преобразуем, учитывая уравнение (1), к виду (ku)(0) + d0u0 0 = (ku)(0) + q(0)u(0) f(0) + + (d0 q(0))u0 (f(0) 0) = (d0 q(0))u0 (f(0) 0). Из соотношений получаем что и требовалось доказать. Таким образом, при достаточной гладкости коэффициентов k(x), q(x), f(x) и решения u(x) разностная схема (10) аппроксимирует исходную задачу (2) со вторым порядком по h. При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точно. Можно воспользоваться коэффициентами, полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами, имеющими точность O(h2) и выше. Например, в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты: ai = k(xi 0,5h), di = q(xi), i = f(xi). Применяя формулу трапеций, получим Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k(x), q(x), f(x). 2.3. Уравнение для погрешности. Решение yi = y(xi) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки, y(xi) = yh(xi). По существу, мы имеем семейство решений {yh(xi)}, зависящее от параметра скачать реферат 1 2 3 4 Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |