Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Элементарные доказательства теорем Перрона и Маркова для 2x2 матриц Відомо [[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невідємні матриці в математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.
Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона. Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики, як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна форма тощо.
Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона, Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з повним доведенням всіх тверджень.
1. Необхідні відомості з теорії матриць.
Матриця розмірів m x n це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n стовпців. Позначається матриця так: Визначення: Квадратна матриця називається стохастичною, якщо 1) 2) Теорема Маркова: Нехай для стохастичної матриці P існує натуральне число k0 таке, що (тобто всі елементи додатні). Тоді 1. (існування границі матриці означає, що існує границя кожного її елементу) 2. Матриця - має однакові рядки. 3. Всі елементи цих рядків додатні. Доведення теореми для 2х2 матриць. Запишемо стохастичну матрицю у вигляді , де Запишемо її характеристичне рівняння: , Це квадратне рівняння з дискрімінантом: І тому З урахуванням маємо , але якщо , то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд , або і тоді Pn містить нулі , що суперечить умові. Таким чином . Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню відповідає власний вектор , де x1=x2, тобто, наприклад власний вектор. Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню . За визначенням Звідки Згадуючи, що отримуємо Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння: або звідки , але , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а тоді матриця мала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому можна записати, що Доведемо тепер твердження 1 теореми. Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn. Позначимо . Оскілки , то існує S-1. Перепишемо рівняння та у матричній формі або . Відкіля і взагалі Знайдемо границю Pn: Твердження 1 теореми доведено. Доведемо тепер, що рядки матриці однакові. Для цього обчиcлимо . Оскільки , то Ми бачимо, що рядки матриці - однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність Для того, щоб довести треба довести, що , треба довести, що та . Маємо , , тому що p>0 і q >0 Теорема доказана. Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць Зауваження2 Позначимо рядки граничної матриці . Тоді можна знайти з умови: Доведення. Оскільки Зівдки Або Звідки Зокрема, для 2х2 матриці Умовою рядок визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити. В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невідємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова. У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го скачать реферат 1 2 Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |