интеграл расходится.А в этом примере площадь под графиком 1/x имеет бесконечно большую величину.При этом(обратите внимание!!!-частая ошибка студентов) 1/x0 при x.
Для сходимости несобственного интеграла при x необходимо,но не достаточно стремление ^
Пример 4
На концах отрезка [0,2] подынтегральная функция определена. Но x=1 - особая точка.
Для сходимости интеграла необходима сходимость интегралов
Рассмотрим сначала
При b1 F(b)=ln[(1-x)/(1+x)] не имеет предела данный и, как следствие, исходный интегралы расходятся.
Примечание. Если не обратить внимания на особую точку и применить формулу Ньютона-Лейбница, то можно получить неверный ответ ln1/3.Поэтому прежде чем исследовать несобственный интеграл на сходимость,полезно внимательно изучить подынтегральную функцию ,найти ее особые точки и построить эскиз. В нашем примере функция на отрезке [0,2] выглядит примерно так(рисунок 5)
Y
1
0 1 2 X
ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ.
1)Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция f непрерывна на [a,b), и F- первообразная f.Тогда
Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением формулы следует убедиться в непрерывности f(x).
2)Линейность несобственного интеграла.
Если несобственные интегралы
Сходятся,то для любых чисел m,n сходятся несобственный интеграл
3)Интегрирование по частям.
Если функции u=u(x),v=v(x) непрерывно дифференцируемы на промежутке [a,b),то
Причем,если любые два из выражений
имеют смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и третье.Посмотрим пример(5):
Причем
4)Замена переменной в несобственном интеграле.
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g(t) непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg(t),tt2;тогда
При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно сходятся или расходятся.Может случиться,что при замене переменной несобственный интеграл становится собственным,и наоборот:
Пример 6:
Монотонность несобственного интеграла.
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в несобственном смысле на промежутке и f(x),то
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.