Поиск по сайту
Рефераты / Математика /Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: О неопределенных бинарных квадратичных формах с целыми коэффициентами и определителем , переводящая форму в форму , т.е. такая, что выполняется равенство (3) и несобственно эквивалентными, если целочисленная подстановка (2) с определителем переводит форму в форму . Эквивалентность таких форм обозначаем так: ~ Из (3) и (2) следуют соотношения (4) связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм и . Определение 4. Дискриминантом бинарной квадратичной формы называется число . Предложение 1. Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант. Доказательство. Пусть форма эквивалентна (собственно или несобственно) форме. Тогда по определению 3 существуют целые числа с определителем , при которых выполнены соотношения (4). Из них получаем , т.е. предложение 1 доказано. Заметим, что обратное утверждение вообще говоря неверно, т.е. из того, что бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант еще не следует, что они эквивалентны. Следующий общий факт приведем без доказательства. Предложение 2. Отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Определение 5. Если для квадратичной формы и для целого числа при некоторых целых и выполняется равенство , то говорят, что квадратичная форма представляет число . Пример. Квадратичная форма представляет число , т.к. число является значением квадратичной формы при , т.е. равенство выполняется при . Предложение 3. Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел. Доказательство. Пусть формы и эквивалентны. Тогда существует унимодулярная целочисленная подстановка переменных: и, значит, . Положив теперь в этом равенстве , получим , т.е. форма тоже представляет число . Поскольку отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм обладает свойством симметричности (предложение 2) то и любое число, представимое формой будет представимое и формой . Предложение 3 доказано. Определение 5. Классом форм называется множество всех бинарных квадратичных форм, собственно эквивалентных форме . В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2). Далее, в зависимости от знака дискриминанта бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы. Определение 6. Квадратичная форма дискриминанта называется определенной, если и неопределенной, если . Такое определение подсказано тем, что при бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при и отрицательные при ), а при она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы. Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм - «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные скачать реферат 1 2 3 4 Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |