Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:
1. Движения
· Параллельный перенос
· Осевая симметрия
· Поворот вокруг точки
· Центральная симметрия
2. Подобие
· Гомотетия
Движение
Движением называется отображение плоскости на себя при которром сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:
1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.
Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Тогда выполняются равенства
A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)
Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:
AB
Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур:
Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.
Виды движений
На плоскости существуют четыре типа движений:
1. Параллельный перенос.
2. Осевая симметрия
3. Поворот вокруг точки
4. Центральная симметрия
Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.
Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X' и Y', что XX'=YY' или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.
Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X' и Y' соответственно. Тогда выполняется равенство XX'=YY'. Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X'Y', откуда получаем, что во-первых XY=X'Y', то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X'Y', то есть при параллельном переносе сохраняются направления.
Это свойство параллельного переноса - его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом.
Осевая симметрия
Точки X и X' называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX'. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X', симметричная X относительно a.
Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a.
Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x, -y).
Возьмем любые две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A'(x1,- y1) и B'(x2, -y2). Вычисляя растояния A'B' и AB, получим
Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.
Поворот
Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота.
Докажем, что поворот является движением:
Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X' и Y'. Покажем, что X'Y'=XY.
Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X'OY' равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY' равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY'):
с другой стороны,
Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX'=OX, и OY'=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X'Y'=XY.
Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X'Y' будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX', OY'. Поэтому и в этом случае X'Y'=XY. Итак, поворот является движением.
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.