Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Теория Матриц и Определителей

скачать реферат

Средняя школа 45. Город Москва. Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик). Введение в теорию матриц и определителей.

1996 год. Оглавление. Оглавление. 1. Матрицы. 1.1 Понятие матрицы. 1.2 Оновные операции над матрицами. 2. Определители. 2.1 Понятие определителя. 2.2 Вычисление определителей. 2.3 Основные свойства определителей. 3. Системы линейных уравнений. 3.1 Основные определения. 3.2 Условие совместности систем линейных уравнений. 3.3 Решение ситем линейных уравнений метедом Крамера. 3.4 Решение ситем линейных уравнений метедом Гаусса. 4. Обратная матрица. 4.1 Понятие обратной матрицы. 4.2 Вычесление обратной матрицы. Список литературы.

1. Матрицы. 1.1 Понятие матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком.

1.2 Основные операции над матрицами. Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц. Прежде всего договоримся считать матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают. Перейдем к определению основных операций над матрицами. Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( Сij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n ) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны. Cij = Aij + Bij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) ( 1.2 ) Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением Итак по определению имеем : + = = Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно : 1) переместительным свойством : A + B = B + A 2) сочетательным свойством : (A + B) + C = A + (B + C) Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц. Умножение матрицы на число : Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) на вещественное число называется матрица C = (Cij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n ), элементы которой равны Cij =Aij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ). (1.3) Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число. Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами : 1) распределительным свойством относительно суммы матриц: (A + B) =A +B 2) сочетательным свойством относительно числового множителя: () A =( A) 3) распределительным свойством относительно суммы чисел : ( +) A = A + A. Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись : C = A B. Перемножение матриц : Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ), имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу B = (Bij) ( i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, p ), имеющую порядки соответственно
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

равные n и p, называется матрица C = (Сij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p ), имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы Cij, определяемые формулой Cij = ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p ) (1.4) Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C = AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка. Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C, являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно : Элемент Cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

=

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B : 1) сочетательное свойство : (AB) C = A (BC); 2) распределительное относительно суммы матриц свойство : (A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC. Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить A = , B = , то AB = , а BA = Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими. Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается символом E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n-ого порядка и обозначается символом O. Допустим, что существует произвольная матрица A, тогда AE = EA = A, AO = OA = O. Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство : A + O = O + A = A. Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

2. Определители. 2.1 Понятие определителя. Прежде всего необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя, или детерминанта.

2.2 Вычисление определителей. Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах, Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число adbc,

скачать реферат

1 2 3

Рефераты / Математика /

реферат на тему: Теория Матриц и Определителей

Обратная связь.