Рейтинг@Mail.ru
Rambler's Top100




Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

реферат на тему: Движение в центрально-симметричном поле

скачать реферат

Вспоминая определение (3,3) параметра , находим

(3,9)

Этим решается задача об определении уровнем энергии дискретного спектра в кулоновском поле. Мы видим, что имеется бесконечное множество уровней между нормальным уровнем и нулем. Интервалы между каждыми двумя последовательными уровнями уменьшаются с увеличением ; уровни сгущаются по мере приближения к значению , при котором дискретный спектр смыкается с непрерывным. В обычных единицах формула (3,9) имеет следующий вид:

(3,10)

Целое число называется главным квантовым числом. Радиальное же квантовое число, определенное в п.1, равно

.

При заданном значении главного квантового числа число может принимать значения

(3,11)

всего различных значений. В выражение (3,9) для энергии входит только число . Поэтому все состояния с различными , но одинаковыми обладают одинаковой энергией. Таким образом, каждое собственное значение оказывается вырожденным не только по магнитному квантовому числу ( как при всяком движении в центрально-симметричном поле ), но и по числу . Это последнее вырождение ( о нем говорят, как о случайном или кулоновом ) специфично именно для кулонового поля. Каждому данному значению соответствует различных значений ; поэтому кратность вырождения - го уровня энергии равна

(3,12)

Волновые функции стационарных состояний определяются формулами (3,5), (3,7). Вырожденная гипергеометрическая функция с целыми значениями обоих параметров совпадает, с точностью до множителя, с так называемыми обобщенными полиномами Лагерра. Поэтому

.

Радиальные функции должны быть нормированы условием

.

Их окончательный вид следующий:

(3,13)

Вблизи начала координат имеет вид

(3,14)

На больших расстояниях

. (3,15)

Волновая функция нормального состояния затухает экспоненциально на расстояниях порядка , т.е. в обычных единицах, . Средние значения различных степеней вычисляются по формуле

.

Приведем несколько первых величин ( с положительными и отрицательными ):

, ,

, . (3,16)

Непрерывный спектр.

Спектр положительных собственных значений непрерывен и простирается от нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений вырождено с бесконечной кратностью; каждому значению соответствует бесконечное множество состояний с , пробегающими все целые значения от до ( и со всеми возможными, при данных , значениями ). Определяемое формулами (3,3) число и переменная теперь чисто мнимы:

, , (3,17)

где . Радиальные собственные функции непрерывного спектра имеют вид

(3,18)

где - нормировочный множитель. Они могут быть представлены в виде комплексного интеграла

, (3,19)

который берется по контуру ( см. рис ниже ).

Подстановкой этот интеграл приводится к более симметричному виду

(3,20)

( путь интегрирования обходит в положительном направлении точки ). Из этого выражения непосредственно видно, что функции вещественны. Асимптотическое разложение вырожденной гипергеометрической функции позволяет непосредственно получить такое же разложение для волновой функции

(3,21)

Если нормировать волновые функции «по шкале » , то нормировочный коэффициент равен

(3,22)

Действительно, асимптотическое выражение при больших ( первый член
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ




разложения (3,21) ) тогда имеет вид

, (3,23)

в согласии с общим видом нормировочных волновых функций непрерывного спектра в центрально-симметричном поле. Выражение (3,23) отличается от общего вида наличием логарифмического члена в аргументе у синуса; поскольку, однако, растет при увеличении медленно по сравнению с самим , то при вычислении нормировочного интеграла, расходящегося на бесконечности, наличие этого члена не существенно. Модуль Г-функции, входящий в выражение (3,22) для нормировочного множителя, может быть выражен через элементарные функции. Воспользовавшись известными свойствами Г-функций

, ,

имеем

,

и далее

.

Таким образом,

(3,24)

( при произведение заменяется на 1 ). Предельным переходом можно получить радиальную функцию для особого случая равной нулю энергии. При

,

где - функция Бесселя. Коэффициенты (3,24) при сводятся к

Отсюда находим

(3,25)

Асимптотический вид этой функции при больших

(3,26)

Множитель исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е. от функции к функции ; именно функция остается конечной в пределе . В кулоновом поле отталкивания имеется только непрерывный спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения изменением знака у . Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.

Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению и в результате получается ,

. (3,27)

Асимптотическое выражение этой функции при больших имеет вид

, (3,28) .

Природа кулонова вырождения.

При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения

(3,29)

В квантовой механике этой величине отвечает оператор

(3,30)

коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом . Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для операторов друг с другом и с оператором момента:

, . (3,31)

Некоммутативность операторов друг с другом означает, что величины не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений. Каждый из этих операторов, скажем , коммутативен с такой же компонентой момента , но некоммутативен с оператором квадрата момента . Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с другими сохраняющимися величинами, , приводит к дополнительному вырождению уровней, - это и есть специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии. Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению к пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в квантовой механике. Для этого отмечаем, что для состояний дискретного спектра, с фиксированной отрицательной энергией, можно заменить в правой стороне соотношения (3,31) на и ввести вместо операторы . Для них правила коммутации принимают вид

, (3,32)

Вместе с правилом эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой

скачать реферат
1 2 3 4

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!


Обратная связь.

IsraLux отзывы Израиль отзывы