Поиск по сайту
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ реферат на тему: Теорема НетерМинистерство образования Украины
Донбасский горно-металлургический институт
Кафедра Общей и прикладной физики Используя (4), получим: (5) Пусть преобразования такие, что (6) т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру . Тогда (7) Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, это разность значений новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат в соответствующий момент старого времени, т.е. . (8) Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы (9) зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты. Для любой функции справедливо соотношение: . Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение, которое можно получить следующим образом: вычтем из (8) уравнение (9), получим: , примем во внимание, что , тогда имеем: (10) Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени , в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно. Соответствующие два вида вариаций можно ввести и для любой динамической переменной. Например, для функции Лагранжа (11) причем (12) где включает дифференцирование как по явно входящему времени, так и по времени, входящему неявно, через координаты и скорости. Потребуем теперь, чтобы интеграл действия не менялся бы при нашем преобразовании, это и есть тот исключительный случай, который требуется условием теоремы, т.е. чтобы было , (13) где Т' та же область интегрирования, что и Т во втором интеграле, но выраженная через новые переменные. Тогда подставив (11) в (13), получим (14) Выражаем в (15) через (11) и учитывая соотношение , переходя к интегрированию по t вместо t', получим: Учитывая, что , получим: (15) Но (16) Найдем дифференциал , отсюда (17) Подставив (17) в (16), получим: Под знаком первой суммы стоит уравнение Лагранжа, т.е. Тогда имеем: (18) Подставим полученное значение вариации функции Лагранжа в (15), имеем: Из (10) выразим через и : Тогда вариация действия (19) Мы должны потребовать равенства этой вариации нулю. В силу произвольности области интегрирования Т из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегрального выражения, т.е. мы приходим к тому, что необходимым и достаточным условием инвариантности действия относительно преобразования (7) служит удовлетворение уравнения . Заменим и , используя соотношения (7) и (8), имеем: Вынесем за скобки и разделим на нее обе части уравнения. Окончательно получим необходимое условие: (20) Другими словами, из инвариантности действия относительно (7) мы получили то следствие, что величина (21) остается постоянной во времени. Это и есть точное утверждение теоремы Нётер. 3. Некоторые замечания относительно теоремы Нётер 1. Величина (21) еще не является динамической величиной скачать реферат 1 2 Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ Внимание! Студенческий отдых и мегатусовка после сессии!
Рефераты и/или содержимое рефератов предназначено исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования. Все права в отношении рефератов и/или содержимого рефератов принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие или полученные в связи с использованием рефератов и/или содержимого рефератов.
|
Обратная связь. |