Рефераты / Педагогика /

Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю. Этому состоянию соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис.1,д).

Рассмотренные выше колебания являются свободными. Здесь не учтено, что в любой реальной механической системе существуют силы трения. Таким образом, соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно представить в виде таблицы 1

Механические величиныЭлектрические величиныКоордината хЗаряд qСкорость vx=x'Сила тока i=q'Ускорение аx=vxСкорость изменения силы тока i'Масса mИндуктивность LЖесткость kВеличина, обратная электроемкости. 1/ССила FНапряжение UВязкость Сопротивление RПотенциальная энергия деформированной пружины kx2/2Энергия электрического поля конденсатора q2/(2C)Кинетическая энергия mv2/2Энергия магнитного поля катушки Li2/2Импульс mvПоток магнитной индукции Li

Выведем уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре и колебаний горизонтального пружинного маятника. Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, получим равенство: + , где , , тогда имеем (1) Так как и получаем

=const (2)

Следует заметить, что уравнение (2) так же следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i=q' - мгновенное значение силы тока, qmax - максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вывод о зависимости силы тока от величины заряда и находим значение максимальной силы тока: ; Откуда

при q=0. Как видно формально с точки зрения математики уравнения (1) и (2) являются одинаковыми. Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна. Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей. или

(3)

Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется. Вычисляя обе производные получаем:

так как , тогда

и получаем

(4)

Уравнение (4) является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.

Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.

Выведем груз из положения равновесия, растянув пружину на длину Хm (рис.2) и отпустим. (Амплитудное растяжение пружины Xm должно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)

Рис.2

Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах -xmЈxЈxm . По закону сохраненья энергии имеем:

(5) где X0=mg/k - статическое растяжение пружины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равновесия груза, обозначенного на рис. 2 пунктиром). Учитывая, что и , получим уравнение колебаний

=соnst (6)

Как видно уравнения колебаний горизонтального и вертикального пружинных маятников одинаковы. Ускорение свободного падения g, имеющееся в уравнении (5), отсутствует в полученном уравнении колебаний. Следовательно, колебания груза на пружине не зависят от g и одинаковы, например, на Земле и Луне. Хотя в дифференциальные уравнения (1) и (6) входят разные
Не нашли нужную работу? Закажи реферат, курсовую, диплом на заказ

рис.3

так как при <<1 можно считать , а s=la. По закону сохранения энергии имеем:

, где

или =const (8)

По аналогии с формулами (4) и (7) xqs; ; получаем: S``= - (9) Различие уравнений (1), (6) и (9) состоит только в обозначениях и физическом смысле входящих в них величин. Если не предполагать sm<
ВремяКолебательный контурПружинный маятникНа конденсаторе находится заряд q0; энергия электрического поля Wэ максимальна. Энергия магнитного поля Wм равна нулю ; Смешение X0 тела от положения равновесия наибольшее; его потенциальная энергия Wп максимальна, кинетическая Wк равна нулю ;При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться через катушку: возникает ток и связанное с ним магнитное поле. Вследствие самоиндукции сила тока нарастает постепенно; энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля Тело приходит в движение, его скорость возрастает постепенно. Потенциальная энергия преобразуется в кинетическую

Конденсатор разрядился, сила тока I0 максимальна, энергия электрического поля равна нулю, энергия магнитного поля максимальна Wэ=0; При прохождении положения равновесия скорость v0, тела и его кинетическая энергия максимальны, потенциальная энергия равна нулю Wп=0; Вследствие самоиндукции сила тока уменьшается постепенно; на конденсаторе начинает накапливаться заряд и Тело, достигнув положения равновесия, продолжает движение по инерции с постепенно уменьшающейся скоростью и Конденсатор перезарядился; сила тока в цепи равна нулю ; Wм=0Пружина максимально растянута: скорость тела равна нулю ; Wk=0 Разрядка конденсатора возобновляется; ток течет в противоположном направлении; сила тока постепенно возрастает Тело начинает движение в противоположном направлении с постепенно увеличивающейся скоростью Конденсатор полностью разрядился; сила тока I0 в цепи максимальна Wэ=0; Тело проходит положение равновесия, его скорость максимальна Wп=0; Вследствие самоиндукции ток продолжает течь в том же направлении, конденсатор начинает заряжаться По инерции тело движется к крайнему положению Конденсатор снова заряжен, ток в цепи отсутствует, состояние контура аналогично первоначальному ; Wм=0 Смещение тела максимально, его скорость равна нулю и состояние аналогично первоначальному ; Wk=0

§ 2. Решение уравнений, описывающих колебания в пружинном и математическом маятниках.

Найдем решение уравнения: (1) Нельзя считать, что или , так как вместо получилось бы равенство

Чтобы в выражении второй производной был множитель запишем уравнение (1) в виде: (2) Найдем первую и вторую производные:

Функция (2) есть

скачать реферат

---

1 2 3 4 5 ...    последняя